概率趣題：三個犯人

概率趣題：三個犯人

三個犯人都住在隔離間，並且都被判處了死刑。監獄官赦免了其中
一個犯人。看守知道誰會赦免，但不會說。

犯人A臉皮厚，想讓看守告訴他，B和C誰會被執行死刑。

• 如果赦免的是B，看守就會說C；
• 如果赦免的是C，看守就會說B；
• 如果赦免的是A，看守就拋硬幣決定說B或者C。

看守告訴A，犯人B將會執行死刑。

犯人A興奮不已，他決得自己生存的機率變爲了0.5（因爲B不可能被赦免了）
犯人A將此告訴了C，C同樣很興奮，他的理由是：A生存的機率仍然是1/3,但
自己生存的機率變爲了2/3.

那麼，誰錯了？

答案：C是對的。

以下是我的解答：
設事件A：A被赦免，事件B：B被赦免，事件C：C被赦免
事件D₁：看守說了B，事件D₂：看守說了C。

於是，已知條件爲：

P(A)=P(B)=P(C)=13

P(D1|A)=0.5,P(D1|B)=0,P(D1|C)=1

P(D2|A)=0.5,P(D2|B)=1,P(D2|C)=0

我們要求的就是P(A|D1),P(C|D1)
即在看守說了B的條件下，A和C分別被赦免的概率。

由貝葉斯公式， 因爲P(D1)=P(D1|A)P(A)+P(D1|B)P(B)+P(D1|C)P(C)

P(A|D1)=P(D1|A)P(A)P(D1)=P(D1|A)P(A)P(D1|A)P(A)+P(D1|B)P(B)+P(D1|C)P(C)=1/3

P(C|D1)=P(D1|C)P(C)P(D1)=2/3

小結

這道題看似複雜，其實由章可循。只要抽象出具體的事件，
寫出相應的事件的概率，這就變成了概率論課程中的送分題。
關鍵在於建模的過程
最後，用這篇博文，來祝願大家在概率論與數理統計的期末考試中
取得好成績。