最小生成樹 - prim算法

Prim算法

1.概覽

普里姆算法（Prim算法），圖論中的一種算法，可在加權連通圖裏搜索最小生成樹。意即由此算法搜索到的邊子集所構成的樹中，不但包括了連通圖裏的所有頂點（英語：Vertex (graph theory)），且其所有邊的權值之和亦爲最小。該算法於1930年由捷克數學家沃伊捷赫·亞爾尼克（英語：Vojtěch Jarník）發現；並在1957年由美國計算機科學家羅伯特·普里姆（英語：Robert C. Prim）獨立發現；1959年，艾茲格·迪科斯徹再次發現了該算法。因此，在某些場合，普里姆算法又被稱爲DJP算法、亞爾尼克算法或普里姆－亞爾尼克算法。

 

2.算法簡單描述

1).輸入：一個加權連通圖，其中頂點集合爲V，邊集合爲E；

2).初始化：V_new = {x}，其中x爲集合V中的任一節點（起始點），E_new = {},爲空；

3).重複下列操作，直到V_new = V：

a.在集合E中選取權值最小的邊<u, v>，其中u爲集合V_new中的元素，而v不在V_new集合當中，並且v∈V（如果存在有多條滿足前述條件即具有相同權值的邊，則可任意選取其中之一）；

b.將v加入集合V_new中，將<u, v>邊加入集合E_new中；

4).輸出：使用集合V_new和E_new來描述所得到的最小生成樹。

 

下面對算法的圖例描述

下面對算法的圖例描述

圖例	說明	不可選	可選	已選（Vnew）
	此爲原始的加權連通圖。每條邊一側的數字代表其權值。	-	-	-
	頂點D被任意選爲起始點。頂點A、B、E和F通過單條邊與D相連。A是距離D最近的頂點，因此將A及對應邊AD以高亮表示。	C, G	A, B, E, F	D
	下一個頂點爲距離D或A最近的頂點。B距D爲9，距A爲7，E爲15，F爲6。因此，F距D或A最近，因此將頂點F與相應邊DF以高亮表示。	C, G	B, E, F	A, D
	算法繼續重複上面的步驟。距離A爲7的頂點B被高亮表示。	C	B, E, G	A, D, F
	在當前情況下，可以在C、E與G間進行選擇。C距B爲8，E距B爲7，G距F爲11。E最近，因此將頂點E與相應邊BE高亮表示。	無	C, E, G	A, D, F, B
	這裏，可供選擇的頂點只有C和G。C距E爲5，G距E爲9，故選取C，並與邊EC一同高亮表示。	無	C, G	A, D, F, B, E
	頂點G是唯一剩下的頂點，它距F爲11，距E爲9，E最近，故高亮表示G及相應邊EG。	無	G	A, D, F, B, E, C
	現在，所有頂點均已被選取，圖中綠色部分即爲連通圖的最小生成樹。在此例中，最小生成樹的權值之和爲39。	無	無	A, D, F, B, E, C, G

 

3.簡單證明prim算法

反證法：假設prim生成的不是最小生成樹

1).設prim生成的樹爲G₀

2).假設存在G_min使得cost(G_min)<cost(G₀)   則在G_min中存在<u,v>不屬於G₀

3).將<u,v>加入G₀中可得一個環，且<u,v>不是該環的最長邊(這是因爲<u,v>∈G_min)

4).這與prim每次生成最短邊矛盾

5).故假設不成立，命題得證.

 4.算法代碼實現

#include<iostream>
#include<vector>
#include<cstring>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;

const int MAX = 10;
int n ,k;
struct Edge{
	int k;
	int w;
	Edge(int kk, int ww)
		:k(kk), w(ww){
		}
	Edge(){
	};
};

vector<Edge> G[MAX];

int dist[MAX];
int addvnew[MAX];
//int adjecent[MAX];
 
/*
7 11
1 2 7
1 4 5
2 3 8
2 4 9
2 5 7
3 5 5
4 5 15
4 6 6
5 6 8
5 7 9
6 7 11
*/

int prim(int s)
{
	int sum = 0;
	for(int i = 0; i < MAX; ++i){
		dist[i] = INF;
		addvnew[i] = 0;
	}
	for(int i = 0;i < G[s].size(); ++i){
		dist[G[s][i].k] = G[s][i].w;
	}
	
	addvnew[s] = 1;
//	adjecent[s] = s;
	
	for(int i = 1;i <= n ; ++i){
		if(i != s){
			int min = INF;
			int v = -1;
			for(int j = 1; j <= n; ++j){
				if(!addvnew[j] && dist[j] < min){
					min = dist[j];
					v = j;
				}
			}
			
			if(v != -1){
				//cout << adjecent[v] << v << dist[v] << "\n";
				addvnew[v] = 1;
				
				sum += dist[v];
				
				for(int j = 0;j < G[v].size(); ++j){
					if(!addvnew[G[v][j].k] && G[v][j].w < dist[G[v][j].k]){
						dist[G[v][j].k] = G[v][j].w ;
					//	adjecent[G[v][j].k] = v;
					}
				}
			} 
		}
	}
	
	cout << "minmum sum:" << sum << "\n";
	
} 
int main()
{

	cin >> n >> k;
	int a, b, w;
	while(k--){
		cin >> a >> b >> w;
		G[a].push_back(Edge(b,w));
		G[b].push_back(Edge(a,w));
	}
	prim(4);
	
	
}