PHP實現 Manacher 最大回文子串算法

題目：給一個字符串，找出它的最長的迴文子序列的長度。
例如，如果給定的序列是“BBABCBCAB”，則輸出應該是7，“BABCBAB”是在它的最長迴文子序列。

輸入：
aaaa
1212asdfdsa1144121

輸出：
4
7

這裏我們還是將其封裝成函數調用

何謂迴文序列

迴文序列就是正向和反向完全一樣的序列，比如 asdfdsa 和 aaaa

接下來我們由淺及深，一步一步來說一下 Manacher 算法，這裏我們只說 PHP 的實現

判斷迴文序列

通過 PHP 很容易實現，只需要判斷正向反向是否相同就行了

function huiwen($str)
{
    $str2 = implode(array_reverse(str_split($str)), "");

    if ($str == $str2) {
        echo "$str, yes";
    } else {
        echo "$str, no";
    }
}

接下來我們就來講解最大回文子串如何去求

第一版代碼

求迴文子串，毫無疑問需要每個字符遍歷一遍，分別求出來各個字符的迴文長度，然後選出最長的那一個
代碼如下：

function palindrome($str)
{   
    $n = strlen($str);
    $pos = 0;
    $max = 0;

    for ($i = 0; $i < $n; $i++) { 
        for ($j = 0; ($i - $j >= 0) && ($i + $j < $n); $j++) { 
            if ($str[$i - $j] != $str[$i + $j]) {
                break;
            }
            if ($j > $max) {
                $max = $j;
                $pos = $i;
            }
        }
    }
    var_dump(substr($str, $pos - $max, $max * 2 + 1));
}

可以看到，這個代碼是有bug的，因爲迴文子串可能是奇數長度，也可能是偶數長度，因爲我們是以一個字符爲中心來求的，所以用這種方法只能求出奇數長度的迴文子串，接下來我們來改進一下

第二版改進

因爲我們只能求出奇數長度的迴文子串，因此我們需要把字符串改進一下

首先通過在每個字符的兩邊都插入一個特殊的符號，將所有可能的奇數或偶數長度的迴文子串都轉換成了奇數長度。比如 abba 變成 #a#b#b#a#， aba變成 #a#b#a#，這樣我們再來看一下代碼：

function palindrome($str)
{   
    $pos = 0;
    $max = 0;

    $newStr = "#" . implode(str_split($str), "#") . "#";
    $n = strlen($newStr);

    for ($i = 0; $i < $n; $i++) { 
        for ($j = 0; ($i - $j >= 0) && ($i + $j < $n); $j++) { 
            if ($newStr[$i - $j] != $newStr[$i + $j]) {
                break;
            }
            if ($j > $max) {
                $max = $j;
                $pos = $i;
            }
        }
    }

    $r = substr($newStr, $pos - $max, $max * 2);
    $res = str_replace("#", "", $r);
    var_dump($res);
}

這個樣子我們就寫好了基本的迴文子串算法了，但是在這個算法中，我們用了兩層 for 循環，並且需要判斷當前字符的位置是否越界，效率較低，接下來我們來看 Manacher 算法

Manacher 算法實現

首先，爲了進一步減少編碼的複雜度，可以在字符串的開始和結尾加入另一個特殊字符，這樣就不用特殊處理越界問題，這裏我們在開頭和結尾分別加入 @ 和 \0，如 abba 變成 @#a#b#b#a#\0

接下來，我們引入一個輔助序列 $p[] 來記錄各個位置的迴文長度（注意：我們這裏記錄的迴文長度是單向的長度，比如 12321 我們記錄的迴文長度爲 3，實際迴文長度是 $p[$i] * 2 - 1）
比如字符串 $s[] 與輔助序列 $p[] 的對應關係如下：

• S # 1 # 2 # 2 # 1 #
• P 1 2 1 2 5 2 1 2 1

最後，核心代碼在於這一句：
$p[$i] = $mx > $i ? min($p[$j], $mx - $i) : 1;
通過這步操作我們可以避免很多不必要的匹配，我們結合下面的代碼來理解這句操作
$mx 是最大回文序列最右側邊界的座標，$i 是當前要計算的位置，$j 是 $i 相對於最大回文序列中間座標 $pos 的對稱點
由於迴文序列的性質，迴文序列是對稱的，也就是說
如果：
$mx > $i
那麼
$p[$i] >= $mx > $i ? min($p[$j], $mx - $i) : 1;
可以這麼理解：
如果 $mx > $i，這時 當前位置 在 當前最大回文序列 的右半部分裏面，根據迴文序列的對稱性，可以得出，當前位置 $i 的迴文長度一定大於等於與之對稱 $j 的迴文長度，所以說直接從 $j 的迴文長度開始計算
但是如果 $mx > $i，這時 當前位置 在 當前最大回文序列 之外，無法判斷 $mx 以後字符的對稱性，因此從 1 開始

function palindrome($str)
{   
    // 最大回文序列中間座標
    $pos = 0;
    // 最大回文長度
    $max = 0;
    // 迴文序列最右邊界座標
    $mx = 0;

    $p = array("0" => 1, "1" => 1);

    $newStr = "@#" . implode(str_split($str), "#") . "#\0";
    $n = strlen($newStr);

    for ($i = 2; $newStr[$i] != "\0"; $i++) {
        // $i 相對於最大回文序列中間座標 $pos 的對稱點
        $j = $pos - $i > 0 ? $pos - $i : 1;
        $p[$i] = $mx > $i ? min($p[$j], $mx - $i) : 1; 
        while ($newStr[$i - $p[$i]] == $newStr[$i + $p[$i]]) {
            $p[$i]++;
        }

        if ($p[$i] > $max) {
            $max = $p[$i];
            $pos = $i;
            $mx = $i + $max;
        }
    }

    $r = substr($newStr, $pos - $max + 1, $max * 2 - 1);
    $res = str_replace(array("#", "@", "\0"), "", $r);
    var_dump($res);
}

Manacher 算法的時間複雜度爲O(n)，優勢在於避免了奇偶數討論的問題，簡化了邊界判斷，還記錄了當前字符串的“迴文狀態”，利用之前的迴文狀態來求當前迴文狀態 ，體現了動態規劃的思想