時間複雜度和空間複雜度

算法複雜度

算法複雜度分爲時間複雜度和空間複雜度。
其作用： 時間複雜度是指執行算法所需要的計算工作量；而空間複雜度是指執行這個算法所需要的內存空間。（算法的複雜性體現在運行該算法時的計算機所需資源的多少上，計算機資源最重要的是時間和空間（即寄存器）資源，因此複雜度分爲時間和空間複雜度）。

時間複雜度

計算方法
1.一般情況下，算法中基本操作重複執行的次數是問題規模n的某個函數，用T(n)表示，若有某個輔助函數f(n),使得當n趨近於無窮大時，T(n)/f(n)的極限值爲不等於零的常數，則稱f(n)是T(n)的同數量級函數。記作T(n)=O(f(n)),稱O(f(n)) 爲算法的漸進時間複雜度，簡稱時間複雜度。
分析：隨着模塊n的增大，算法執行的時間的增長率和 f(n) 的增長率成正比，所以 f(n) 越小，算法的時間複雜度越低，算法的效率越高。
2. 在計算時間複雜度的時候，先找出算法的基本操作，然後根據相應的各語句確定它的執行次數，再找出 T(n) 的同數量級（它的同數量級有以下：1，log2n，n，n log2n ，n的平方，n的三次方，2的n次方，n!），找出後，f(n) = 該數量級，若 T(n)/f(n) 求極限可得到一常數c，則時間複雜度T(n) = O(f(n))
例：算法：

for(i=1; i<=n; ++i)
{
 for(j=1; j<=n; ++j)
 {
 c[i][j] = 0;//該步驟屬於基本操作執行次數：n的平方次
 for(k=1; k<=n; ++k)
 c[i][j] += a[i][k] * b[k][j];//該步驟屬於基本操作執行次數：n的三次方次
 }
}

則有 T(n) = n 的平方+n的三次方，根據上面括號裏的同數量級，我們可以確定 n的三次方 爲T（n）的同數量級
則有 f(n) = n的三次方，然後根據 T(n)/f(n) 求極限可得到常數c
則該算法的時間複雜度：T(n) = O(n^3) 注：n^3即是n的3次方。
3.在pascal中比較容易理解，容易計算的方法是：看看有幾重for循環，只有一重則時間複雜度爲O(n)，二重則爲O(n^2)，依此類推，如果有二分則爲O(logn)，二分例如快速冪、二分查找，如果一個for循環套一個二分，那麼時間複雜度則爲O(nlogn)。
分類
按數量級遞增排列，常見的時間複雜度有：
常數階O(1),對數階O(

),線性階O(n),
線性對數階O(nlog2n),平方階O(n^2)，立方階O(n^3),…，
k次方階O(n^k),指數階O(2^n)。隨着問題規模n的不斷增大，上述時間複雜度不斷增大，算法的執行效率越低。

空間複雜度

空間複雜度(Space Complexity)是對一個算法在運行過程中臨時佔用存儲空間大小的量度，記做S(n)=O(f(n))。比如直接插入排序的時間複雜度是O(n^2),空間複雜度是O(1) 。而一般的遞歸算法就要有O(n)的空間複雜度了，因爲每次遞歸都要存儲返回信息。一個算法的優劣主要從算法的執行時間和所需要佔用的存儲空間兩個方面衡量。

空間複雜度

類似於時間複雜度的討論，一個算法的空間複雜度(SpaceComplexity)S(n)定義爲該算法所耗費的存儲空間，它也是問題規模n的函數。漸近空間複雜度也常常簡稱爲空間複雜度。空間複雜度(SpaceComplexity)是對一個算法在運行過程中臨時佔用存儲空間大小的量度。一個算法在計算機存儲器上所佔用的存儲空間，包括存儲算法本身所佔用的存儲空間，算法的輸入輸出數據所佔用的存儲空間和算法在運行過程中臨時佔用的存儲空間這三個方面。算法的輸入輸出數據所佔用的存儲空間是由要解決的問題決定的，是通過參數表由調用函數傳遞而來的，它不隨本算法的不同而改變。存儲算法本身所佔用的存儲空間與算法書寫的長短成正比，要壓縮這方面的存儲空間，就必須編寫出較短的算法。算法在運行過程中臨時佔用的存儲空間隨算法的不同而異，有的算法只需要佔用少量的臨時工作單元，而且不隨問題規模的大小而改變，我們稱這種算法是“就地\”進行的，是節省存儲的算法，有的算法需要佔用的臨時工作單元數與解決問題的規模n有關，它隨着n的增大而增大，當n較大時，將佔用較多的存儲單元，例如快速排序和歸併排序算法就屬於這種情況。
分析一個算法所佔用的存儲空間要從各方面綜合考慮。如對於遞歸算法來說，一般都比較簡短，算法本身所佔用的存儲空間較少，但運行時需要一個附加堆棧，從而佔用較多的臨時工作單元；若寫成非遞歸算法，一般可能比較長，算法本身佔用的存儲空間較多，但運行時將可能需要較少的存儲單元。
一個算法的空間複雜度只考慮在運行過程中爲局部變量分配的存儲空間的大小，它包括爲參數表中形參變量分配的存儲空間和爲在函數體中定義的局部變量分配的存儲空間兩個部分。若一個算法爲遞歸算法，其空間複雜度爲遞歸所使用的堆棧空間的大小，它等於一次調用所分配的臨時存儲空間的大小乘以被調用的次數(即爲遞歸調用的次數加1，這個1表示開始進行的一次非遞歸調用)。算法的空間複雜度一般也以數量級的形式給出。如當一個算法的空間複雜度爲一個常量，即不隨被處理數據量n的大小而改變時，可表示爲O(1)；當一個算法的空間複雜度與以2爲底的n的對數成正比時，可表示爲O(log2n)；當一個算法的空間複雜度與n成線性比例關係時，可表示爲O(n).若形參爲數組，則只需要爲它分配一個存儲由實參傳送來的一個地址指針的空間，即一個機器字長空間；若形參爲引用方式，則也只需要爲其分配存儲一個地址的空間，用它來存儲對應實參變量的地址，以便由系統自動引用實參變量。

時間與空間複雜度比較

對於一個算法，其時間複雜度和空間複雜度往往是相互影響的。當追求一個較好的時間複雜度時，可能會使空間複雜度的性能變差，即可能導致佔用較多的存儲空間；反之，當追求一個較好的空間複雜度時，可能會使時間複雜度的性能變差，即可能導致佔用較長的運行時間。另外，算法的所有性能之間都存在着或多或少的相互影響。因此，當設計一個算法(特別是大型算法)時，要綜合考慮算法的各項性能，算法的使用頻率，算法處理的數據量的大小，算法描述語言的特性，算法運行的機器系統環境等各方面因素，才能夠設計出比較好的算法。算法的時間複雜度和空間複雜度合稱爲算法的複雜度。