題目
分析
首先把最短路徑樹畫出來（由題意最短路徑唯一，所以是樹）：
其中1是根。我們將樹記作T，i的子樹記作B。圖中，B是綠色點，T-B是紅色點。
而1~i最短路上的最後一條邊（也就是不能走的邊）即i的父親邊。將這條邊去掉以後，1~i的最短路長什麼樣呢？
可以發現，一定是這樣的：
即，先從1沿着樹邊走到T-B中的某個點u，然後再沿着某條非樹邊走到B中的某個點v，然後再沿着樹邊走到i。
爲什麼這樣是對的呢？假設這條最短路上最後一個T-B中的點是u，那麼1~u一定是走最短路（即樹邊），然後u~v的那條邊一定是非樹邊（T中去掉i的父親邊後，B和T-B不再相連），然後v~i的最短路一定也是樹邊（否則我們可以求出一個1~v的更短路，矛盾）。
假設1~i的最短路是f[i]（即樹中1~i的長度）。那麼，每一條如上所述的路徑由某條邊(u,v)唯一確定。這條邊滿足：
①不是i的父親邊。
②u不在B中，而v在B中。
（題中是無向邊，我們拆成兩條有向邊即可）
而路徑的長度就是f[u]+f[v]+w(u,v)-f[i]。w(u,v)是邊(u,v)的長度。
換言之，設f[u]+f[v]+w(u,v)=g(u,v)。那麼對於i，我們需要找到g(u,v)最小的(u,v)，使得u在T-B中而且v在B中（且(u,v)不是i的父親邊），那麼i的答案就是g(u,v)-f[i]。
怎麼找呢？DFS下去，在每個點處維護一個可合併（小根）堆，裏面存放所有u在i子樹內的(u,v)。一個兒子的DFS結束後，就將它的堆和當前i的堆合併，然後再往i的堆裏插入所有i引出的邊。然後，如果堆頂不符合條件（即v也在i的子樹內），就不斷地將堆頂元素彈出，直到堆頂是一個合法的(u,v)，這時它一定是i的答案。
有一個細節：這裏需要快速判斷“v是否在i的子樹內”，怎麼辦呢？用並查集，在兒子DFS結束後，將其並查集和i的合併，這樣通過查找v和i是否位於同一並查集，就可以快速判斷了。
時間複雜度O(NlogN)。注意，一開始求最短路用SPFA會TLE，必須用Dijkstra，可能是數據故意卡。
代碼
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
const int SIZEN=100010,SIZEM=400010;
const int INF=0x7fffffff/2;
class Edge{
public:
int u,v;
int len;
int sum;//兩端的depth之和加上len
};
class Node{//小根堆左偏樹的節點
public:
int l,r;
int h;
Edge e;
#define l(x) tree[x].l
#define r(x) tree[x].r
#define h(x) tree[x].h
#define e(x) tree[x].e
};
Node tree[SIZEM];
int node_merge(int u,int v){
if(!u||!v) return u+v;
if(e(u).sum>e(v).sum) swap(u,v);
r(u)=node_merge(r(u),v);
if(h(l(u))<h(r(u))) swap(l(u),r(u));
h(u)=h(r(u))+1;
return u;
}
int ufs[SIZEN]={0};
int grand(int x){
return !ufs[x]?x:ufs[x]=grand(ufs[x]);
}
int N,M;
Edge edges[SIZEM];int tot=0;
vector<int> c[SIZEN];
int depth[SIZEN]={0};
int father[SIZEN]={0};
int ans[SIZEN]={0};
int root[SIZEN]={0};
int vis[SIZEN]={0};
void DFS(int x){
if(vis[x]) return;
vis[x]=true;
for(int i=0;i<c[x].size();i++){
Edge &eg=edges[c[x][i]];
if(depth[x]+eg.len==depth[eg.v]){
if(vis[eg.v]) continue;
father[eg.v]=x;
DFS(eg.v);
root[x]=node_merge(root[x],root[eg.v]);
ufs[grand(eg.v)]=grand(x);
}
}
for(int i=0;i<c[x].size();i++){
Edge &eg=edges[c[x][i]];
if(grand(eg.v)!=x&&eg.v!=father[x]){
root[x]=node_merge(root[x],c[x][i]);
}
}
//現在,root[x]中壓入了所有可能合法的邊
while(root[x]&&grand(e(root[x]).v)==x){
root[x]=node_merge(l(root[x]),r(root[x]));
}
if(root[x]) ans[x]=e(root[x]).sum-depth[x];
else ans[x]=-1;
}
void work(void){
for(int i=1;i<=2*M;i++){
e(i)=edges[i];
e(i).sum=depth[e(i).u]+depth[e(i).v]+e(i).len;
}
DFS(1);
for(int i=2;i<=N;i++) printf("%d\n",ans[i]);
}
priority_queue<pair<int,int> > Q;
bool used[SIZEN];
void Dijkstra(int s){
for(int i=1;i<=N;i++) depth[i]=INF;
depth[s]=0;Q.push(make_pair(-depth[s],s));
while(!Q.empty()){
int x=Q.top().second;Q.pop();
if(used[x]) continue;
used[x]=true;
for(int i=0;i<c[x].size();i++){
Edge &eg=edges[c[x][i]];
if(depth[x]+eg.len<depth[eg.v]){
depth[eg.v]=depth[x]+eg.len;
Q.push(make_pair(-depth[eg.v],eg.v));
}
}
}
}
void add_edge(int a,int b,int w){
edges[++tot]=(Edge){a,b,w,0};
c[a].push_back(tot);
}
void read(void){
scanf("%d%d",&N,&M);
int a,b,w;
for(int i=1;i<=M;i++){
scanf("%d%d%d",&a,&b,&w);
add_edge(a,b,w);
add_edge(b,a,w);
}
}
int main(){
freopen("travel.in","r",stdin);
freopen("travel.out","w",stdout);
read();
Dijkstra(1);
work();
return 0;
}
