題意
有一塊圓形浮冰，其邊緣上有2n（n<=10^5）個頂點。這些頂點兩兩配對，共n對，每對頂點之間有曲線相連（可以理解爲冰面上的紋路）。有6只熊，它們是3對情侶，要選擇6個頂點打洞。要求：
①每對情侶打的兩個洞必須是配對頂點，中間有曲線連接。
②每對情侶之間的距離相等。x和y的“距離”是指，沿着浮冰邊緣從x走到y，最少需要經過的熊洞數量+1。
例如：
左邊這張圖可以，右邊這張圖不行。
圖中，1~16爲頂點，線代表配對的頂點，AB是一對情侶，CD是一對，EF是一對。
左邊圖中，C到D的距離爲1（經過0個熊洞），A到B的距離爲2，E到F的距離爲2，故不行。右圖中，A到B，C到D，E到F的距離都是1，可行。
求總的打洞方案數。如果兩個方案中打洞的集合相同，就認爲這兩個方案相同（並不考慮哪個洞是誰的）。
分析
這道題的抽象模型頗爲有趣。可以發現，只有如下兩種可能：
第一種是三對熊洞的連線兩兩交叉，第二種是三對熊洞的連線兩兩均不交叉。
如果把每條曲線對應成一個點，若兩條曲線交叉則在所對應的兩點間連紅邊，否則連藍邊，那麼我們就得到了一個含n個節點的完全圖G。可以發現，第一種方案對應G中的一個紅色三角形，第二種方案對應G中的一個藍色三角形。
我們現在試圖去求G中的純色三角形個數a。“純色三角形”並不好求，但可以將問題轉化爲求“非純色三角形”的個數b，而三角形共有C(n,3)個，所以純色三角形個數就是C(n,3)-b。
那怎麼算“非純色三角形”個數呢？可以看到，每個“非純色三角形”必然有兩個“異色角”。“異色角”是指一個角的兩條邊一紅一藍，如圖：
左邊的角就是一個異色角。黑邊的顏色未定。若爲紅，則下面的角是異色角，若爲藍，則上面的角是異色角。總之一定有兩個異色角。
於是現在只需要計算異色角的個數c，則b=c/2，a=C(n,3)-c/2.
怎麼計算呢？
假設第i條曲線連接了li和ri兩個點（li<=ri）。假設有pi條曲線和它交叉（即連出了pi條紅邊），那麼就有qi=n-1-pi條曲線和它不交叉（即連出qi條藍邊），則G中以它爲頂點的異色角個數就是pi*qi。
這pi條和它交叉的曲線都滿足：一端在區間[li,ri]內，一端在區間[li,ri]之外。不妨稱之爲“和區間[li,ri]交叉”。假設我們知道了pi，那我們就能O(1)計算出有多少條曲線和[li-1,ri]交叉（討論li-1配對點是否在區間內即可），同理也能計算出和[li+1,ri]，[li,ri-1]，[li,ri+1]交叉的曲線數量。
因此我們可以用分塊莫隊算法求出所有pi和qi，這樣我們就算出了異色角個數c，從而算出純色三角形個數a。
但是到此並未結束，因爲“純色三角形”還包含這種情況：
中間那對熊之間的距離是2，兩邊兩對熊之間的距離都是1，不合法。
這種情況對應於一個藍色三角形，但並不合法，需要減掉。
計算這種方案數的方法也簡單：在分塊莫隊時再計算一個值si：兩端點都在[li,ri]內（顯然不與區間[li,ri]交叉）的曲線數量（包含(li,ri)本身）。那麼，兩端點都在[li,ri]外，不與[li,ri]交叉的曲線數自然就是ti=n-si-pi，以[li,ri]爲上圖中紅線的方案數量爲(si-1)*ti。（之所以-1是要扣掉(li,ri)這條曲線）。
設這種方案數爲d，那麼總的答案就是a-d。
這樣就完美解決了問題。
代碼
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int SIZE=200010;
LL N,Bsize;
int match[SIZE];
class Curve{
public:
int l,r;
};
bool operator < (const Curve &a,const Curve &b){
if(a.l/Bsize==b.l/Bsize) return a.r<b.r;
return a.l/Bsize<b.l/Bsize;
}
Curve C[SIZE];
LL nowl=1,nowr=0,now_cross=0,now_inner=0;
void try_add(int k){
if(nowl<=match[k]&&match[k]<=nowr) now_inner++,now_cross--;
else now_cross++;
}
void try_del(int k){
if(nowl<=match[k]&&match[k]<=nowr) now_inner--,now_cross++;
else now_cross--;
}
void work(void){
LL all_tri=N*(N-1)*(N-2)/6;
LL diff_cnt=0;//異色角的數量
LL wrong_pure=0;//不合法的純色三角形數目
for(int i=1;i<=N;i++){
while(nowl>C[i].l) try_add(--nowl);
while(nowr<C[i].r) try_add(++nowr);
while(nowl<C[i].l) try_del(nowl++);
while(nowr>C[i].r) try_del(nowr--);
diff_cnt+=now_cross*(N-1-now_cross);
wrong_pure+=(now_inner-1)*(N-now_inner-now_cross);
}
LL tri_cnt=all_tri-diff_cnt/2;//純色三角形數目
tri_cnt-=wrong_pure;
cout<<tri_cnt<<endl;
}
void init(void){
cin>>N;
Bsize=sqrt(2*N+1.0);
int a,b;
for(int i=1;i<=N;i++){
scanf("%d%d",&a,&b);
if(a>b) swap(a,b);
C[i]=(Curve){a,b};
match[a]=b;match[b]=a;
}
sort(C+1,C+1+N);
}
int main(){
//freopen("t1.in","r",stdin);
init();
work();
return 0;
}
最後貼張圖：
熊：我萌嗎？
（大聲告訴我，圖中坦克有幾對負重輪？）