這幾天學習ACM訓練，第一次接觸了線段樹（Interval Tree）。
現在給大家簡單說說我的一點點理解，以及poj上一道典型題目的源碼和超詳細的註釋。
線段樹：實際上稱爲區間樹更好理解一些。線段：樹上的每個節點對應於一個線段（區間）。
特點：（1）同一層的節點所代表的區間相互不會重疊。
（2）同一層節點所代表的區間，加起來是個連續的區間。
（3）葉子節點的區間長度是單位長度，不能再分。
線段樹是一顆二叉樹，樹中每個結點表示了一個區間[a,b]。a，b通常是整數。對於每一個非葉節點所表示的節點[a,b]，其左兒子表示區間爲[a,(a+b)/2]，右兒子表示區間爲[(a+b)/2+1,b]。（除法去尾取整）。
圖爲區間【1,9】的線段樹。
線段樹的深度不超過log2（n）+1。
線段樹上更新葉子節點和進行區間分解時間複雜度都是O(log(n))的。這些結論爲線段樹能在O(log(n))的時間內完成插入數據，更新數據、查找、統計等工作，提供了理論依據。
線段樹的基本用途：線段樹適用於和區間統計有關的問題。比如某些數據可以按區間進行劃分，按區間動態進行修改，而且還需要按區間多次進行查詢，那麼使用線段樹可以達到較快查詢速度。
線段樹的應用舉例
給你一個數的序列A1A2……An。並且可能多次進行下列兩個操作：
1、對序列裏面的某個數進行加減
2、詢問這個序列裏面任意一個連續的子序列AiAi+1……Aj的和是多少。
希望第2個操作每次能在log(n)時間內完成
分析：
顯然，[1,n]就是根節點對應的區間
可以在每個節點記錄該節點對應的區間裏面的數的和Sum。
對於操作1：因爲序列裏面Ai最多隻會被線段樹的log(n)個節點覆蓋。只要求對線段樹覆蓋Ai的節點的Sum進行加操作，因此複雜度是log(n)
對於操作2：同樣只需要找到區間所覆蓋的“終止”節點，然後把所找“終止”節點的Sum累加起來。因爲這些節點的數量是O（log(n))的，所以這一步的複雜度也是log(n)
如果走到節點[L,R]時，如果要查詢的區間就是[L,R]
(求AL到AR的和）那麼直接返回該節點的Sum，並累加到總的和上;
如果不是，則：
對於區間[L,R]，取mid=（L+R）/2；
然後看要查詢的區間與[L,mid]或[mid+1,R]哪個有交集，就進入哪個區間進行進一步查詢。
因爲這個線段樹的深度最深的LogN，所以每次遍歷操作都在LogN的內完成。但是常數可能很大。
如果是對區間所對應的一些數據進行修改，過程和查詢類似。
總結：
用線段樹解題，關鍵是要想清楚每個節點要存哪些信息（當然區間起終點，以及左右子節點指針是必須的），以及這些信息如何高效更新，維護，查詢。不要一更新就更新到葉子節點，那樣更新效率最壞就可能變成O(n)的了。
方法：先建樹，然後插入數據，然後更新，查詢。
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POJ 3264 Balanced Lineup
給定Q(1 ≤ Q≤ 200,000)個數A1,A2… AQ,，多次求任一區間Ai–Aj中最大數和最小數的差。
Sample Input
6 3 //6個數，3次個查詢
1
7
3
4
2
5
1 5
4 6
2 2
Sample Output
6
3
0
源代碼：
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int INF=0xffffff0;
int minV= INF;
int maxV= -INF;
struct Node{
//定義了樹中每個節點的信息
int L,R; //樹節點的左孩子L,右孩子R
int minV,maxV; //在樹節點中記錄在其範圍內的max和min
int Mid(){ //尋找L和R的中間值返回
return (L+R)/2;
}
};
Node tree[400010];
void BuildTree(int root,int L,int R){
//相當於初始化整棵樹，初始化每個樹節點，傳進來這個節點所包含的數值範圍L到R
tree[root].L=L;
tree[root].R=R;
tree[root].minV= INF;
tree[root].maxV= -INF;
if(L!=R){ //遞歸調用該方法，初始化整棵樹
BuildTree(2*root+1,L,(L+R)/2);
BuildTree(2*root+2,(L+R)/2+1,R);
}
}
void Insert(int root,int i,int v){
//將第i個數，其值爲v，插入線段樹
//實際上，Insert是構建線段樹的過程
if(tree[root].L==tree[root].R){
//如果當前節點的L和R相等，說明到了葉子節點
//對葉子節點的操作是：將葉子本身的值v定義爲該節點的max和min
tree[root].minV=tree[root].maxV=v;
return ;
}
//如果不是葉子節點
//則插入了新的節點此時需要更新包含這個節點在內的所有節點的max和min
// 首先對本節點進行操作：
// 如果新插入的v比當前節點的minV還小，就將其更新爲當前節點的minV
// 如果新插入的v比當前節點的maxV還大，就將其更新爲當前節點的maxV
// 其次對其後影響了的節點進行更新判斷，需要進行遞歸調用該方法。
tree[root].minV=min(tree[root].minV,v);
tree[root].maxV=max(tree[root].maxV,v);
if(i<=tree[root].Mid()){
//如果i小於等於mid說明可能影響到了左樹的max或min
//調用左樹進行判斷更新；
Insert(2*root+1,i,v);
}else{
//如果i大於mid說明可能影響到了右樹的max或min
//調用右樹進行判斷更新；
Insert(2*root+2,i,v);
}
//需要說明：此時不會有第三種情況。
//因爲這個值只可能插入這個節點的左樹和右樹這兩種情況
}
void Query(int root,int s,int e){
//查詢區間[s,e]中的最大值和最小值，如果更優就記在全局變量裏
if(tree[root].minV >= minV && tree[root].maxV <=maxV )
return ;
if(tree[root].L==s && tree[root].R ==e){
//如果查詢的區間s、e就是當前節點所包含的區間
//將所包含的最大值和最小值依次和 當前max和min比較
minV= min(minV,tree[root].minV);
maxV= max(maxV,tree[root].maxV);
return ;
}
//如果區間右邊界小於mid，遞歸調用查詢左節點，區間s，e ，此時root已經變成左節點
if(e<=tree[root].Mid())
Query(2*root+1,s,e);
//如果區間左邊界大於mid，遞歸查詢有節點區間s，e，注意此時root已經變成右節點
else if(s>tree[root].Mid())
Query(2*root+2,s,e);
else{
//說明所查詢區間s，e橫跨了該節點所對應的左右節點
//則依次調用左節點和右節點
Query(2*root+1,s,tree[root].Mid());
Query(2*root+2,tree[root].Mid()+1,e);
}
}
int main(){
int n,q,h;
int i,j,k;
scanf("%d%d",&n,&q);
//n代表一共有n個數需要建立這個線狀樹
//q代表一共有幾次查詢
BuildTree(0,1,n);
//初始化樹節點:
//以0號爲root，1和n爲該節點表示區間範圍[L,R]
for(i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&h);
Insert(0,i,h);
//從0爲root開始，依次將第i個數，其值爲h，插入初始化的線狀樹中
}
//這時候創建這棵線狀樹完畢
for(i=0;i<q;i++){
//依次進行每次查詢
int s,e;
scanf("%d%d",&s,&e);
//輸入要查詢的區間[s,e]
minV=INF;
maxV=-INF;
Query(0,s,e);
//從0爲root開始（樹根）查詢s、e區間
//將查詢區間的max和min存放在全局變量的maxV和minV中
//然後輸出二者的差即爲所求
printf("%d\n",maxV-minV);
}
return 0;
}
