算法学习-分治法

设计思想

对于规模为n的问题，如果可以直接解决就解决，否则将其分为k个规模较小的问题，这些子问题相互独立并且和原来问题的形式相同，递归地解决这些子问题，之后再将子问题的解合并得到原问题的解

分治法常常采用递归的技术，每一层递归上都有三个步骤

1. 分解
2. 求解子问题
3. 合并

快速排序的例子

快速排序的思想就是选一个基准（通常是首项），把比它小的排到它前面，比它大的排到它后面，这称作一次划分，然后对两个子序列再做划分，直到子序列里只有一个元素或者为空

f(a,s,t) = do nothing // s..t < 2
f(a,s,t) = i = partition(a,s,t)
           f(a,s,i-1)
           f(a,i+1,t)

int Partition(int a[]，int s，int t)	//划分算法
{   int i=s，j=t;
    int tmp=a[s];	//用序列的第1个记录作为基准
    while (i!=j)	//从序列两端交替向中间扫描，直至i=j为止     
    {   while (j>i && a[j]>=tmp) 
　　　　　　j--;    	//从右向左扫描，找第1个关键字小于tmp的a[j]
        a[i]=a[j];	//将a[j]前移到a[i]的位置
        while (i<j && a[i]<=tmp) 
　　　　　　i++;   	//从左向右扫描，找第1个关键字大于tmp的a[i]
        a[j]=a[i];	//将a[i]后移到a[j]的位置
　　}
　　a[i]=tmp;
　　return i;
}

求解最大连续子列和问题的例子

将子列从中间开始分为两个部分，那么最大连续子列的出现就有三种情况

1. 完全在mid的左边
2. 完全在mid的右边
3. 从左到右跨过了mid

那么最后的结果就是三种情况下的最大值

long maxSubSum(int a[]，int left，int right)	
//求a[left..high]序列中最大连续子序列和
{  int i，j;
   long maxLeftSum，maxRightSum;
   long maxLeftBorderSum，leftBorderSum;
   long maxRightBorderSum，rightBorderSum;
   if (left==right)		//子序列只有一个元素时
   {　　if (a[left]>0) 	//该元素大于0时返回它
　　　　　　return a[left];
　　　　else			//该元素小于或等于0时返回0
　　　　　　　return 0; 
   } 
　　int mid=(left+right)/2;			//求中间位置
　　maxLeftSum=maxSubSum(a，left，mid);	//求左边
　　maxRightSum=maxSubSum(a，mid+1，right);	//求右边
　　maxLeftBorderSum=0，leftBorderSum=0;
　　for (i=mid;i>=left;i--)　			//求出以左边加上a[mid]元素
　　{  leftBorderSum+=a[i];　			//构成的序列的最大和
　     if (leftBorderSum>maxLeftBorderSum)
　　　　　　maxLeftBorderSum=leftBorderSum;
　　}
　　maxRightBorderSum=0，rightBorderSum=0;
　　for (j=mid+1;j<=right;j++)		//求出a[mid]右边元素
　　{  rightBorderSum+=a[j];  		//构成的序列的最大和
　　   if (rightBorderSum>maxRightBorderSum)
　　　　　　maxRightBorderSum=rightBorderSum;
　　}
　　return max3(maxLeftSum，maxRightSum，
		   maxLeftBorderSum+maxRightBorderSum); 
}