Given n non-negative integers a1, a2, ..., an, where each represents a point at coordinate (i, ai). n vertical lines are drawn such that the two endpoints of line i is at (i, ai) and (i, 0). Find two lines, which together with x-axis forms a container, such that the container contains the most water.
Note: You may not slant the container.
题目意思就不翻译了,大概是要找到条纵线然后这两条线以及X轴构成的容器能容纳最多的水。
下面以例子: [4,6,2,6,7,11,2] 来讲解。
1.首先假设我们找到能取最大容积的纵线为 i , j (假定i<j),那么得到的最大容积 C = min( ai , aj ) * ( j- i) ;
2.下面我们看这么一条性质:
①: 在 j 的右端没有一条线会比它高! 假设存在 k |( j<k && ak > aj) ,那么 由 ak> aj,所以 min( ai,aj, ak) =min(ai,aj) ,所以由i, k构成的容器的容积C' = min(ai,aj ) * ( k-i) > C,与C是最值矛盾,所以得证j的后边不会有比它还高的线;
②:同理,在i的左边也不会有比它高的线;
这说明什么呢?如果我们目前得到的候选: 设为 x, y两条线(x< y),那么能够得到比它更大容积的新的两条边必然在 [x,y]区间内并且 ax' > =ax , ay'>= ay;
3.所以我们从两头向中间靠拢,同时更新候选值;在收缩区间的时候优先从 x, y中较小的边开始收缩;
证明:不妨设ax < ay, [x,y] 的收缩有以下两周
(1)[x+1,y]; (2) [x,y-1];
(1)(2)中有重叠的部分,将其划分为几个不重叠的子集
[x+1,y-1],
[k,y] (k = x+1,x+2,...),
[x,k] (k = x+1,x+2,...)
而不难证明:
min(ax,ak)*(k-x) < min(ax,ay)*(y-x) (because ax < ay)
故而此扩展是多余的,也即ax不可留,所以从小的一端收缩。
class Solution {
public:
int maxArea(vector<int>& height) {
int capability = 0;
size_t left = 0, right = height.size() - 1;
while (left < right)
{
const int water = min(height[left], height[right]) * (right - left);
if (water > capability) capability = water;
if (height[left] < height[right])
{
++left;
}
else
{
--right;
}
}
return capability;
}
};