題目描述

分析

這是經典的區間gcd （最大公約數）問題。

差分GCD

g c d (a, b) g c d (a, b, c) = g c d (a, b - k a) = g c d (g c d (a, b), c) = g c d (g c d (a, b - a), c) = g c d (g c d (a, b - a), c - k (g c d (a, b - a))) = g c d (g c d (a, b - a), c - b)

所以區間

[l,r] 的最大公約數等於其差分和第一個數的最大公約數，假設

a 爲原數組，

di=ai−ai−1 ，所以

g c d (a l, a l + 1, a l + 2, \dots, a r) = g c d (g c d (d l + 1, d l + 2, \dots, d r), a l)

一維區間GCD

維護區間信息首選線段樹，但是區間gcd 顯然沒有辦法打懶標記，因爲下傳的時候顯然不知道如何修改gcd 信息，所以不能有區間修改。但是原數組的區間修改對應差分數組的單點修改，所以我們用一棵線段樹維護差分數組區間gcd，然後再用一個數據結構（線段樹、差分數組的樹狀數組……）維護原數組即可。

二維區間GCD

我們沿着一維區間gcd 繼續思考。
假設a,b,c,d 的相對位置是acbd

g c d (a, b, c, d) = g c d (g c d (g c d (a, b), c), d) = g c d (g c d (g c d (a, b - a), c - a), d - k (g c d (g c d (a, b - a), c - a))) = g c d (g c d (g c d (a, b - a), c - a), d - b - c + a)

二維區間

gcd 也滿足差分的性質。
現在，我們有一個想法，是不是用二維線段樹維護一個從左上角到右下角的差分數組

gcd 就可以了呢？
我們仔細想一下這個應該怎麼做。
每次，我們要求一個二維區間的gcd，假設下圖是要求的區間。

顯然，白色部分是原數組的一個元素的值，很好維護，紅色部分是一個二維差分，每次單點修改即可，但是綠色部分是一個一維差分，要維護的話就必須區間修改（修改一個區間內的一維線段樹）。顯然，二維線段樹不能區間修改，所以這樣不可行。

我們發現，有一個點是固定的的，我們就可以這個點爲中心維護差分數組。

我們只需要維護八棵獨立的線段樹（四棵二維，四棵一維）就可以做到每次修改都是單點修改了。

代碼

略長

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define MAXN 500000
using namespace std;
typedef long long LL;
int n,m,x,y,T;
LL a[MAXN+10];
inline int Get_id(int i,int j){
    return (i-1)*m+j;
}
template<class T>
void Read(T &x){
    static char c;
    bool f(0);
    while(c=getchar(),c!=EOF){
        if(c=='-')
            f=1;
        else if(c>='0'&&c<='9'){
            x=c-'0';
            while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9')
                x=x*10+c-'0';
            ungetc(c,stdin);
            if(f)
                x=-x;
            return;
        }
    }
}
LL gcd(LL a,LL b){
    LL t;
    while(b){
        t=a%b;
        a=b;
        b=t;
    }
    return a;
}
namespace SegmentTree1D{
struct node{
    LL d;
    node *ch[2];
}tree[MAXN*20+10],*tcnt=tree,*root[4];
inline void update(node *p){
    p->d=gcd(p->ch[0]->d,p->ch[1]->d);
}
void build(node *&p,int l,int r,int x){
    p=++tcnt;
    if(l==r){
        p->d=a[Get_id(x,l)];
        return;
    }
    int mid((l+r)>>1);
    build(p->ch[0],l,mid,x);
    build(p->ch[1],mid+1,r,x);
    update(p);
}
void build_col(node *&p,int l,int r){
    p=++tcnt;
    if(l==r){
        p->d=a[Get_id(l,y)];
        return;
    }
    int mid((l+r)>>1);
    build_col(p->ch[0],l,mid);
    build_col(p->ch[1],mid+1,r);
    update(p);
}
void build_notleaf(node *&p,node *x,node *y,int l,int r){
    p=++tcnt;
    if(l==r){
        p->d=gcd(x->d,y->d);
        return;
    }
    int mid((l+r)>>1);
    build_notleaf(p->ch[0],x->ch[0],y->ch[0],l,mid);
    build_notleaf(p->ch[1],x->ch[1],y->ch[1],mid+1,r);
    update(p);
}
void insert(node *p,int l,int r,int pos,LL d){
    if(l==r){
        p->d+=d;
        return;
    }
    int mid((l+r)>>1);
    if(pos<=mid)
        insert(p->ch[0],l,mid,pos,d);
    else
        insert(p->ch[1],mid+1,r,pos,d);
    update(p);
}
void insert_notleaf(node *p,int l,int r,int pos,LL val){
    if(l==r){
        p->d=val;
        return;
    }
    int mid((l+r)>>1);
    if(pos<=mid)
        insert_notleaf(p->ch[0],l,mid,pos,val);
    else
        insert_notleaf(p->ch[1],mid+1,r,pos,val);
    update(p);
}
LL get_gcd(node *p,int l,int r,int ll,int rr){
    if(ll<=l&&r<=rr)
        return p->d;
    if(ll>r||rr<l)
        return 0;
    int mid((l+r)>>1);
    return gcd(get_gcd(p->ch[0],l,mid,ll,rr),get_gcd(p->ch[1],mid+1,r,ll,rr));
}
}
namespace SegmentTree2D{
using namespace SegmentTree1D;
struct node{
    SegmentTree1D::node *root;
    node *ch[2];
}tree[MAXN*4+10],*tcnt=tree,*root[4];
inline void update(node *p,int al,int ar,int pos){
    insert_notleaf(p->root,al,ar,pos,gcd(get_gcd(p->ch[0]->root,al,ar,pos,pos),get_gcd(p->ch[1]->root,al,ar,pos,pos)));
}
inline void build_merge(node *p,int al,int ar){
    build_notleaf(p->root,p->ch[0]->root,p->ch[1]->root,al,ar);
}
void build(node *&p,int l,int r,int al,int ar){
    p=++tcnt;
    if(l==r){
        build(p->root,al,ar,l);
        return;
    }
    int mid((l+r)>>1);
    build(p->ch[0],l,mid,al,ar);
    build(p->ch[1],mid+1,r,al,ar);
    build_merge(p,al,ar);
}
void insert(node *p,int l,int r,int al,int ar,int x,int y,LL d){
    if(l==r){
        insert(p->root,al,ar,y,d);
        return;
    }
    int mid((l+r)>>1);
    if(x<=mid)
        insert(p->ch[0],l,mid,al,ar,x,y,d);
    else
        insert(p->ch[1],mid+1,r,al,ar,x,y,d);
    update(p,al,ar,y);
}
LL get_gcd(node *p,int l,int r,int al,int ar,int lx,int rx,int ly,int ry){
    if(lx<=l&&r<=rx)
        return get_gcd(p->root,al,ar,ly,ry);
    if(lx>r||rx<l)
        return 0;
    int mid((l+r)>>1);
    return gcd(get_gcd(p->ch[0],l,mid,al,ar,lx,rx,ly,ry),get_gcd(p->ch[1],mid+1,r,al,ar,lx,rx,ly,ry));
}
}
void read(){
    Read(n),Read(m),Read(x),Read(y),Read(T);
    int i,t=n*m,j;
    for(i=1;i<=t;i++)
        Read(a[i]);
    //左
    if(y>1){
        for(j=1;j<y-1;j++)
            a[Get_id(x,j)]-=a[Get_id(x,j+1)];
        SegmentTree1D::build(SegmentTree1D::root[0],1,y-1,x);
    }
    //右
    if(y<m){
        for(j=m;j>y+1;j--)
            a[Get_id(x,j)]-=a[Get_id(x,j-1)];
        SegmentTree1D::build(SegmentTree1D::root[1],y+1,m,x);
    }
    //上
    if(x>1){
        for(i=1;i<x-1;i++)
            a[Get_id(i,y)]-=a[Get_id(i+1,y)];
        SegmentTree1D::build_col(SegmentTree1D::root[2],1,x-1);
    }
    //下
    if(x<n){
        for(i=n;i>x+1;i--)
            a[Get_id(i,y)]-=a[Get_id(i-1,y)];   
        SegmentTree1D::build_col(SegmentTree1D::root[3],x+1,n);
    }
    //左上
    if(x>1&&y>1){
        for(i=1;i<x-1;i++){
            for(j=1;j<y-1;j++)
                a[Get_id(i,j)]-=a[Get_id(i+1,j)]+a[Get_id(i,j+1)]-a[Get_id(i+1,j+1)];
            a[Get_id(i,y-1)]-=a[Get_id(i+1,y-1)];
        }
        for(j=1;j<y-1;j++)
            a[Get_id(x-1,j)]-=a[Get_id(x-1,j+1)];
        SegmentTree2D::build(SegmentTree2D::root[0],1,x-1,1,y-1);
    }
    //右上
    if(x>1&&y<m){
        for(i=1;i<x-1;i++){
            for(j=m;j>y+1;j--)
                a[Get_id(i,j)]-=a[Get_id(i+1,j)]+a[Get_id(i,j-1)]-a[Get_id(i+1,j-1)];
            a[Get_id(i,y+1)]-=a[Get_id(i+1,y+1)];
        }
        for(j=m;j>y+1;j--)
            a[Get_id(x-1,j)]-=a[Get_id(x-1,j-1)];
        SegmentTree2D::build(SegmentTree2D::root[1],1,x-1,y+1,m);
    }
    //左下
    if(x<n&&y>1){
        for(i=n;i>x+1;i--){
            for(j=1;j<y-1;j++)
                a[Get_id(i,j)]-=a[Get_id(i-1,j)]+a[Get_id(i,j+1)]-a[Get_id(i-1,j+1)];
            a[Get_id(i,y-1)]-=a[Get_id(i-1,y-1)];
        }
        for(j=1;j<y-1;j++)
            a[Get_id(x+1,j)]-=a[Get_id(x+1,j+1)];
        SegmentTree2D::build(SegmentTree2D::root[2],x+1,n,1,y-1);
    }
    //右下
    if(x<n&&y<m){
        for(i=n;i>x+1;i--){
            for(j=m;j>y+1;j--)
                a[Get_id(i,j)]-=a[Get_id(i-1,j)]+a[Get_id(i,j-1)]-a[Get_id(i-1,j-1)];
            a[Get_id(i,y+1)]-=a[Get_id(i-1,y+1)];
        }
        for(j=m;j>y+1;j--)
            a[Get_id(x+1,j)]-=a[Get_id(x+1,j-1)];
        SegmentTree2D::build(SegmentTree2D::root[3],x+1,n,y+1,m);
    }
}
void solve(){
    int p,x1,y1,x2,y2,tx1,ty1,tx2,ty2;
    LL ans,d;
    while(T--){
        Read(p),Read(x1),Read(y1),Read(x2),Read(y2);
        if(p){
            Read(d);
            if(x1<=x&&x2>=x&&y1<=y&&y2>=y)
                a[Get_id(x,y)]+=d;
            //左上
            if(x1<x&&y1<y){
                tx2=min(x-1,x2),ty2=min(y-1,y2);
                SegmentTree2D::insert(SegmentTree2D::root[0],1,x-1,1,y-1,tx2,ty2,d);
                if(x1>1&&y1>1)
                    SegmentTree2D::insert(SegmentTree2D::root[0],1,x-1,1,y-1,x1-1,y1-1,d);
                if(x1>1)
                    SegmentTree2D::insert(SegmentTree2D::root[0],1,x-1,1,y-1,x1-1,ty2,-d);
                if(y1>1)
                    SegmentTree2D::insert(SegmentTree2D::root[0],1,x-1,1,y-1,tx2,y1-1,-d);
            }
            //右上
            if(x1<x&&y2>y){
                tx2=min(x-1,x2),ty1=max(y+1,y1);
                SegmentTree2D::insert(SegmentTree2D::root[1],1,x-1,y+1,m,tx2,ty1,d);
                if(x1>1&&y2<m)
                    SegmentTree2D::insert(SegmentTree2D::root[1],1,x-1,y+1,m,x1-1,y2+1,d);
                if(x1>1)
                    SegmentTree2D::insert(SegmentTree2D::root[1],1,x-1,y+1,m,x1-1,ty1,-d);
                if(y2<m)
                    SegmentTree2D::insert(SegmentTree2D::root[1],1,x-1,y+1,m,tx2,y2+1,-d);
            }
            //左下
            if(x2>x&&y1<y){
                tx1=max(x1,x+1),ty2=min(y-1,y2);
                SegmentTree2D::insert(SegmentTree2D::root[2],x+1,n,1,y-1,tx1,ty2,d);
                if(x2<n&&y1>1)
                    SegmentTree2D::insert(SegmentTree2D::root[2],x+1,n,1,y-1,x2+1,y1-1,d);
                if(x2<n)
                    SegmentTree2D::insert(SegmentTree2D::root[2],x+1,n,1,y-1,x2+1,ty2,-d);
                if(y1>1)
                    SegmentTree2D::insert(SegmentTree2D::root[2],x+1,n,1,y-1,tx1,y1-1,-d);
            }
            //右下
            if(x2>x&&y2>y){
                tx1=max(x1,x+1),ty1=max(y1,y+1);
                SegmentTree2D::insert(SegmentTree2D::root[3],x+1,n,y+1,m,tx1,ty1,d);
                if(x2<n&&y2<m)
                    SegmentTree2D::insert(SegmentTree2D::root[3],x+1,n,y+1,m,x2+1,y2+1,d);
                if(x2<n)
                    SegmentTree2D::insert(SegmentTree2D::root[3],x+1,n,y+1,m,x2+1,ty1,-d);
                if(y2<m)
                    SegmentTree2D::insert(SegmentTree2D::root[3],x+1,n,y+1,m,tx1,y2+1,-d);
            }
            if(x1<=x&&x2>=x){
                //左
                if(y1<y){
                    ty2=min(y2,y-1);
                    SegmentTree1D::insert(SegmentTree1D::root[0],1,y-1,ty2,d);
                    if(y1>1)
                        SegmentTree1D::insert(SegmentTree1D::root[0],1,y-1,y1-1,-d);
                }
                //右
                if(y2>y){
                    ty1=max(y1,y+1);
                    SegmentTree1D::insert(SegmentTree1D::root[1],y+1,m,ty1,d);
                    if(y2<m)
                        SegmentTree1D::insert(SegmentTree1D::root[1],y+1,m,y2+1,-d);
                }
            }
            if(y1<=y&&y2>=y){
                //上
                if(x1<x){
                    tx2=min(x2,x-1);
                    SegmentTree1D::insert(SegmentTree1D::root[2],1,x-1,tx2,d);
                    if(x1>1)
                        SegmentTree1D::insert(SegmentTree1D::root[2],1,x-1,x1-1,-d);
                }
                //下
                if(x2>x){
                    tx1=max(x+1,x1);
                    SegmentTree1D::insert(SegmentTree1D::root[3],x+1,n,tx1,d);
                    if(x2<n)
                        SegmentTree1D::insert(SegmentTree1D::root[3],x+1,n,x2+1,-d);
                }
            }
        }
        else{
            ans=a[Get_id(x,y)];
            if(x>1&&y>1)
                ans=gcd(SegmentTree2D::get_gcd(SegmentTree2D::root[0],1,x-1,1,y-1,x-x1,x+x2,y-y1,y+y2),ans);
            if(x>1&&y<m)
                ans=gcd(SegmentTree2D::get_gcd(SegmentTree2D::root[1],1,x-1,y+1,m,x-x1,x+x2,y-y1,y+y2),ans);
            if(x<n&&y>1)
                ans=gcd(SegmentTree2D::get_gcd(SegmentTree2D::root[2],x+1,n,1,y-1,x-x1,x+x2,y-y1,y+y2),ans);
            if(x<n&&y<m)
                ans=gcd(SegmentTree2D::get_gcd(SegmentTree2D::root[3],x+1,n,y+1,m,x-x1,x+x2,y-y1,y+y2),ans);
            if(y>1)
                ans=gcd(SegmentTree1D::get_gcd(SegmentTree1D::root[0],1,y-1,y-y1,y+y2),ans);
            if(y<m)
                ans=gcd(SegmentTree1D::get_gcd(SegmentTree1D::root[1],y+1,m,y-y1,y+y2),ans);
            if(x>1)
                ans=gcd(SegmentTree1D::get_gcd(SegmentTree1D::root[2],1,x-1,x-x1,x+x2),ans);
            if(x<n)
                ans=gcd(SegmentTree1D::get_gcd(SegmentTree1D::root[3],x+1,n,x-x1,x+x2),ans);
            printf("%lld\n",abs(ans));
        }
    }
}
int main()
{
    read();
    solve();
}

outer_form

發佈了171 篇原創文章 · 獲贊 64 · 訪問量 14萬+

私信關注

【二維線段樹（二維區間GCD）】[NOI2012]魔幻棋盤

題目描述

分析

差分GCD

一維區間GCD

二維區間GCD

代碼

PDManer [元數建模]-v4.9.0 發佈：一款簡單好用的數據庫建模平臺

使用neovim打造go ide(支持代碼跳轉, 代碼補全, 實時語法檢查)

sql求連續值問題

cs01 CSS Syntax

挑戰程序設計競賽 2.3章習題 poj 3046 Ant Counting

[MASM拾遺]Offset僞指令

h30 HTML Layout Elements

瞭解顯卡

一款基於C#開發的通訊調試工具（支持Modbus RTU、MQTT調試）

Linux/Golang/glibC系統調用

【Bluestein's Algorithm】[POJ2821]TN's Kingdom III - Assassination

【線段樹】[NOI2016]區間

【樹狀數組】[BZOJ1878]HH的項鍊

【二維線段樹（二維區間GCD）】[NOI2012]魔幻棋盤

【後綴數組】[NOI2016]優秀的拆分

https://yachay.unat.edu.pe/blog/index.php?comment_area=format_blog&comment_component=blog&comment_co

linux以太網驅動總結