【Bluestein's Algorithm】[POJ2821]TN's Kingdom III - Assassination

題目大意

TN要暗殺Dzx，爲了保密，他想到了這樣一種方式：首先，把信息編碼爲N個實數，組成序列α，之後再隨便搞一個長度爲N的實數序列β。然後按照下面的步驟計算序列γ：
0、做一個空序列γ。
1、把β倒過來。
2、把β向右平移一個元素。最右側的元素補到左邊。
3、計算此時α和β對應元素的積的和。將其加到γ的末尾。
4、如果γ還不足N個元素，重複步驟2和3。

雖然這種加密方法是很弱的，可是那些笨蛋刺客們卻沒法破解。然後，這些東西就被Dzx拿到了，於是他就躲過了暗殺……現在作爲歷史學家的你得到了β和γ，你需要解出α來獲得研究TN的材料。

分析

說得更直白一點，γ$\gamma$ 就是α$\alpha$ 和β$\beta$ 的循環卷積。

運用FFT$FFT$ 所進行的卷積本身就是循環卷積

我們假設c$c$ 爲a$a$ 、b$b$ 兩個序列的卷積，即ck=∑ki=0ak×bk−i$c_k=\sum _{i=0}^k{a}_k\times b_{k-i}$
令n爲大於等於c的長度而且是2的整數次冪的數，那麼卷積也可以寫成這個形式ck=∑i,jakbj[i+j≡0(modn)]$c_k=\sum _{i,j}{a}_k{b}_j[i+j\equiv 0(\mathrm{mod}n)]$
FFT就是根據第二個式子算出來的，當a,b$a,b$ 長度相等而且n$n$ 等於他們的長度的時候，根據這個式子算出來的就是循環卷積。平時計算的時候由於n≥c$n\ge c$ 的長度，所以和線性卷積的式子沒有區別。
很顯然，我們對γ$\gamma$ 和β$\beta$ 做DFT$DFT$ ，然後相除，再IDFT$IDFT$ 即可，但是用FFT$FFT$ 進行DFT$DFT$ 要求長度必須是2的整數次冪，如果原長不是2的整數次冪，我們強行弄成2的整數次冪的話，在做γ$\gamma$ 的DFT$DFT$ 和最後IDFT$IDFT$ 時就會出現問題，因爲你根本不知道你這樣做完了是一個什麼東西。
所以，我們需要一個可以做任意長度卷積的東西，Bluestein′s  Algorithm$Bluestei{n}^{\prime }sAlgorithm$ 或者混合基FFT$FFT$ 。

Bluestein’s Algorithm

我們考慮DFT$DFT$ 的式子

AkjkAk=∑j=0N−1ajωjkN=∑j=0N−1aje2πiNjk=−(j−k)2+j2+k22=∑j=0N−1ajeπiN(−(j−k)2+j2+k2)=eπiNk2∑ajeπiNj2eπiN(−(k−j)2)(11)(12)(13)(14)(15)$$\begin{array}{}\text{(11)}& A_k& =\sum _{j=0}^{N-1}{a}_j{\omega }_N^{jk}\text{(12)}& & =\sum _{j=0}^{N-1}{a}_j{e}^{\frac{2\pi i}{N}jk}\text{(13)}& jk& =\frac{-(j-k{)}^2+j^2+k^2}{2}\text{(14)}& A_k& =\sum _{j=0}^{N-1}{a}_j{e}^{\frac{\pi i}{N}(-(j-k{)}^2+j^2+k^2)}\text{(15)}& & =e^{\frac{\pi i}{N}{k}^2}\sum a_j{e}^{\frac{\pi i}{N}{j}^2}{e}^{\frac{\pi i}{N}(-(k-j{)}^2)}\end{array}$$

設Xj=ajeπiNj2,Yj=e−πiNj2$X_j=a_j{e}^{\frac{\pi i}{N}{j}^2},Y_j=e^{-\frac{\pi i}{N}{j}^2}$

Ak=eπiNk2∑j=0NXjYk−j$$A_k=e^{\frac{\pi i}{N}{k}^2}\sum _{j=0}^N{X}_j{Y}_{k-j}$$

這是一個卷積的形式，我們發現我們可以通過一次卷積來做一次DFT$DFT$ .
ps:其實是CZT，fft是dft的快速算法，其實就是N點dft算法，就是計算量小一點。N點dft的本質是z變換後，在z域單位圓上等間距N點連續採樣。
IDFT$IDFT$ 的時候，可以類比用FFT$FFT$ 進行IDFT$IDFT$ 時做出的改變即可。
我們發現k−j$k-j$ 可能小於0，我們只需要將Y(x)$Y(x)$ 右移N$N$ 位即可。

代碼

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
const double pi=acos(-1);
#define MAXN (1<<17)
int n;
struct cpx{
    double r,i;
    inline cpx(){
    }
    inline cpx(double r,double i=0):r(r),i(i){
    }
    inline cpx operator+(const cpx &b)const{
        return cpx(r+b.r,i+b.i);
    }
    inline cpx operator-(const cpx &b)const{
        return cpx(r-b.r,i-b.i);
    }
    inline cpx operator*(const cpx &b)const{
        return cpx(r*b.r-i*b.i,r*b.i+i*b.r);
    }
    inline cpx operator/(const cpx &b)const{
        return cpx((r*b.r+i*b.i)/(b.r*b.r+b.i*b.i),(i*b.r-r*b.i)/(b.r*b.r+b.i*b.i));
    }
    inline cpx& operator*=(const cpx &b){
        return *this=*this*b;
    }
    inline cpx &operator/=(const cpx &b){
        return *this=*this/b;
    }
}beta [MAXN+10],gamma[MAXN+10],alpha[MAXN+10],A[MAXN*4+10],B[MAXN*4+10];
void fft(cpx *a,int N,int f){
    int i,j,t,k;
    for(i=1,j=0;i<N-1;i++){
        for(t=N;j^=(t>>=1),~j&t;);
        if(i<j)
            swap(a[i],a[j]);
    }
    for(i=1;i<N;i<<=1){
        cpx wn(cos(pi/i),f*sin(pi/i));
        t=i<<1;
        for(j=0;j<N;j+=t){
            cpx w(1,0);
            for(k=0;k<i;k++,w*=wn){
                cpx x(a[j+k]),y(w*a[j+i+k]);
                a[j+k]=x+y;
                a[j+i+k]=x-y;
            }
        }
    }
    if(f==-1){
        for(i=0;i<N;i++)
            a[i]/=N;
    }
}
void bluestein(cpx *a,int n,int f){
    int N,i;
    memset(A,0,sizeof A);
    memset(B,0,sizeof B);
    for(i=0;i<n;i++)
        A[i]=cpx(cos(pi*i*i/n),f*sin(pi*i*i/n))*a[i];
    for(i=0;i<(n<<1);i++)
        B[i]=cpx(cos(pi*(i-n)*(i-n)/n),-f*sin(pi*(i-n)*(i-n)/n));
    for(N=1;N<(n<<2);N<<=1);
    fft(A,N,1);
    fft(B,N,1);
    for(i=0;i<N;i++)
        A[i]*=B[i];
    fft(A,N,-1);
    for(i=0;i<n;i++){
        a[i]=A[i+n]*cpx(cos(pi*i*i/n),f*sin(pi*i*i/n));
        if(f==-1)
            a[i]/=n;
    }
}
void read(){
    scanf("%d",&n);
    int i;
    for(i=0;i<n;i++)
        scanf("%lf",&beta[i].r);
    for(i=0;i<n;i++)
        scanf("%lf",&gamma[i].r);
}
void solve(){
    bluestein(beta,n,1);
    bluestein(gamma,n,1);
    for(int i=0;i<n;i++)
        alpha[i]=gamma[i]/beta[i];
    bluestein(alpha,n,-1);
}
void print(){
    int i;
    for(i=0;i<n;i++)
        printf("%.4f\n",alpha[i].r);
}
int main()
{
    read();
    solve();
    print();
}