BZOJ3027：Sweet/BZOJ1272：Gate Of Babylon（生成函數+廣義二項式定理+盧卡斯定理）

題面
首先問題可以差分

對於每一罐都搞一個生成函數
大概是1−xm+11−x$\frac{1-x^{m+1}}{1-x}$
總方案數的生成函數就是

1(1−x)n∏i=1n(1−mi)$$\frac{1}{(1-x{)}^n}\prod _{i=1}^n(1-m_i)$$

=(1−x)−n∏i=1n(1−mi)$$=(1-x{)}^{-n}\prod _{i=1}^n(1-m_i)$$

傳說中的性質

∑i=0ooCin+i−1xi=(1−x)−n$$\sum _{i=0}^{oo}{C}_{n+i-1}^i{x}^i=(1-x{)}^{-n}$$

展開
由於n比較小，我們可以枚舉∏ni=1(1−mi)$\prod _{i=1}^n(1-m_i)$ 的每項係數f
求f[k]$f[k]$ 的貢獻，大概爲

∑i=0b−kCn−1n−i−1=Ckn+m−k$$\sum _{i=0}^{b-k}{C}_{n-i-1}^{n-1}=C_{n+m-k}^k$$

兩題幾乎一樣
BZOJ1272要用盧卡斯定理

bzoj3027

#include <iostream>
#include <fstream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>

using namespace std;
#define mmst(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define mmcp(a, b) memcpy(a, b, sizeof(b))

typedef long long LL;

const int N=2020;
const LL p=2004;

LL mo=2004,jc=1;
LL n,nn,a,b,m[N];

LL C(LL x,LL y)
{
    if(x<y)
    return 0;
    LL res=1;
    for(int i=x;i>=x-y+1;i--)
    res=res*i%mo;
    return (res/jc)%p;
}

LL work(LL x)
{
    LL res=0;
    for(int i=0;i<=nn;i++)
    {
        LL s=x,ops=1;
        for(int j=1;j<=n;j++)
        if((1<<(j-1))&i)
        ops=-ops,s-=m[j]+1;
        if(s<0)
        continue;
        res+=C(s+n,n)*ops;
    }
    return res%p;
}

int main()
{
    cin>>n>>a>>b;;
    nn=(1<<n)-1;

    for(int i=2;i<=n;i++)
    jc*=i,mo*=i;

    for(int i=1;i<=n;i++)
    cin>>m[i];
    cout<<((work(b)-work(a-1))%p+p)%p<<endl;

    return 0;
}

bzoj1272

#include <iostream>
#include <fstream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>

using namespace std;
#define mmst(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define mmcp(a, b) memcpy(a, b, sizeof(b))

typedef long long LL;

const int N=1234567;

LL n,T,p,m,nn,ans;
LL b[N];
LL jc[N],Ijc[N],I[N];

LL C(LL x,LL y)
{
    if(x<y)
    return 0;
    if(x<p)
    return jc[x]*Ijc[y]%p*Ijc[x-y]%p;
    return C(x/p,y/p)*C(x%p,y%p)%p; 
}

int main()
{
    cin>>n>>T>>m>>p;
    nn=(1<<T)-1;

    for(int j=1;j<=T;j++)
    scanf("%d",&b[j]);

    I[1]=Ijc[0]=jc[0]=1;
    for(int i=2;i<p;i++)
    I[i]=I[p%i]*(p-p/i)%p;

    for(int i=1;i<p;i++)
    jc[i]=jc[i-1]*i%p,Ijc[i]=Ijc[i-1]*I[i]%p;

    for(int i=0;i<=nn;i++)
    {
        LL ops=1,s=m;
        for(int j=1;j<=T;j++)
        if(i&(1<<(j-1)))
        ops=-ops,s-=b[j]+1;
        if(s<0)
        continue;
        ans=(ans+ops*C(n+s,n)+p)%p;
    }

    cout<<ans<<endl;

    return 0;
}