糾錯編碼的基本原理
3位二進制數字構成的碼組，共有8種不同的組合。任一碼組在傳輸中若發生一個或多個錯碼，將變成另一信息碼組，此時無法發現錯誤。若如下所示，使用部分碼字，則接收端在某一位發生錯誤時，可以發現一個錯碼。但是這種碼不能發現兩個錯碼，因爲發生兩個錯碼後產生的是許用碼字。該碼只能檢測錯誤，不能糾正錯誤，當收到的碼組爲禁用碼字100時，無法判斷時哪一位碼發生了錯誤，如000、101、110都可能變成100。要想能糾正錯誤，還要增加冗餘度。
000
001（不可用）
010（不可用）
011
100（不可用）
101
110
分組碼和線性分組碼
信息碼分組，每組信碼附加若干監督碼，稱爲分組碼。(n, k)表示分組碼，n爲碼組長度（碼長），k爲信息碼長，m=n-k爲監督碼長。
碼重：“1”的數量稱爲碼重。
碼距：兩個碼字對應位置上數字不同的位數稱爲碼字的距離，又稱漢明距離。
最小碼距：某種編碼中各個碼字間距離的最小值稱爲最小碼距d。（即校驗矩陣H中任意(d-1)列線性無關）
最小碼距與碼的糾錯能力有以下關係：
(1) 檢測e個隨機錯誤，要求d≥e+1；
(2) 糾t個隨機錯誤，要求d≥2t+1；
(3) 糾t個隨機錯誤，同時檢測e(e≥t+1)個隨機錯誤，要求d≥e+t+1。
奇偶監督碼的編碼原理利用了代數關係式，這類建立在代數學基礎上的編碼稱爲代數碼，在代數碼中常見的是線性碼。線性碼中信息位和監督位是由一些線性代數方程聯繫起來的，或者說線性碼是按一組線性方程構成的。
漢明碼
漢明碼(Hamming Code)是由Richard Hamming於1950年提出的，屬於線性分組碼的範疇，其基本原理是將信息碼元與監督碼元通過線性方程式聯繫起來的，每一個監督位被編在傳輸碼字的特定比特位置上。系統對於錯誤的數位，無論是原有信息位中的，還是附加監督位中的都能把它分離出來。各種碼之間的大致關係如下：
標準漢明碼的碼長n=2^m-1，監督位數爲m，信息位數爲k=n-m，最小碼距d=3，因此它的糾錯能力t=1，是一種常用糾單個位錯誤的編碼方式。還可以根據需要對標準漢明碼進行擴展，增加1個校驗位對所有位進行監測，就得到擴展漢明碼。1個(n，k)漢明碼經過擴展以後，就變成了(n+1，k)漢明碼。擴展以後的漢明碼d=4，t=2，e=1，可以糾正單個位錯誤，並檢測出雙位的錯誤。
Hamming Rule
m個監督位構造出m個監督關係式，指示一種錯碼的n種可能位置，則
2^m≥n+1=k+m+1
（7,4）漢明碼示例
設信息位4位，校正子3位，(7,4)漢明碼用a6,a5,…a0表示這7個碼元，用S1,S2,S3表示三個監督關係式中的校正子，校正子與錯碼位置的對應關係如下規定（這個規定是任意的）：
| S1 S2 S3 | 錯碼位置 |
|---|---|
| 001 | a0 |
| 010 | a1 |
| 100 | a2 |
| 011 | a3 |
| 101 | a4 |
| 110 | a5 |
| 111 | a6 |
| 000 | 無錯 |
按照表中的規定可知，僅當一個錯碼位置在a2,a4,a5或a6時校正子S1爲1，否則S1爲0。這就意味着a2,a4,a5,a6四個碼元構成偶校驗關係：
S1 = a6⊕a5⊕a4⊕a2
同理，可以得到：
S2 = a6⊕a5⊕a3⊕a1
S3 = a6⊕a4⊕a3⊕a0
在發送信號時，信息位a6,a5,a4,a3的值取決於輸入信號，是隨機的。監督爲a2,a1,a0應該根據信息位的取值按照監督關係決定，即監督位的取值應該使上述(1)(2)(3)式中的S1,S2,S3爲0，這表示初始情況下沒有錯碼。即
S1=a6⊕a5⊕a4⊕a2 = 0
S2=a6⊕a5⊕a3⊕a1 = 0
S3=a6⊕a4⊕a3⊕a0 = 0
由上式進行移項運算，得到：
a2 = a6⊕a5⊕a4
a1 = a6⊕a5⊕a3
a0 = a6⊕a4⊕a3
已知信息位後，根據上式即可計算出a2,a1,a0三個監督位的值。
接收端收到每個碼組後，先按監督方程計算出S1, S2, S3，再按表格判斷錯碼情況。
線性分組碼的一般原理
上述信息位和監督位滿足的線性方程可以表示爲：
記爲
H=[P Ir]稱爲監督矩陣，H矩陣各行是線性無關的，行數=監督位數，列數=碼字長度
轉置得
G = [Ik Q]稱爲生成矩陣，生成矩陣G的每一行都是一個碼字。
(n，k)線性分組碼的生成矩陣G和校驗矩陣H分別爲k×n和(n-k) ×n維矩陣，其中校驗矩陣H決定信息位與校驗位的關係，在編碼和譯碼中都要用到。
譯碼
若發送碼組爲A，接收碼組爲B，二者之差E=B-A，E稱爲錯誤圖樣。
當接收碼組無錯時，S=0，有錯但不超過檢錯能力時，S不等於0，當錯碼超過檢錯能力時，S仍等於0，這樣的錯碼是不可檢測的。S稱爲校正子（伴隨式），S只與E有關，而與A無關，S與E有線性變換關係，與E一一對應，可指示錯碼位置。
伴隨式譯碼，是由接收碼B和校驗矩陣H算出伴隨式S，再根據S就可以算出E，判斷哪一位發生了錯誤並糾正。標準陣列譯碼法是一種非常直觀的方法，標準陣列有2^m行，2^k列，包含了所有2^n種可能的n維二元向量。
校驗算法設計
首先根據原始信息碼長確定需要多少個監督位。
再確定監督位和信息位的碼字位置，確定伴隨式（監督位）和錯碼位置的關係。
根據偶監督測試原理，可知監督位參與了哪幾個碼位上的計算，得到生成矩陣/生成方程。
接收碼後，由校驗矩陣計算出伴隨式，根據伴隨式計算出錯誤圖樣，哪一位發生了錯誤並糾正。
(72, 64)擴展漢明碼
矩陣中的值代表伴隨式P7P6P5P4P3P2P1P0，d5d4d3d2d1d0指示0~63位哪一位數據發生了錯誤。根據發送和接收數據，計算出8 bit ECC（PSEND和PRECV）。伴隨式S=PSEND^PRECV。如果沒有錯誤，S=0；出現單比特錯誤時，S爲上表中某一數值；如果S只有1bit爲1，則錯誤位在ECC中；如果S不在上表中，說明出現2位或以上錯誤。
下表是ECC編碼規則：
