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偏微分方程

TensorFlow 不僅僅是用來機器學習，它更可以用來模擬仿真。在這裏，我們將通過模擬仿真幾滴落入一塊方形水池的雨點的例子，來引導您如何使用 TensorFlow 中的偏微分方程來模擬仿真的基本使用方法。

注：本教程最初是準備做爲一個 IPython 的手冊。

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譯者注:關於偏微分方程的相關知識，譯者推薦讀者查看 網易公開課 上的《麻省理工學院公開課：多變量微積分》課程。

基本設置

首先,我們需要導入一些必要的引用。

#導入模擬仿真需要的庫
import tensorflow as tf
import numpy as np

#導入可視化需要的庫
import PIL.Image
from cStringIO import StringIO
from IPython.display import clear_output, Image, display

然後，我們還需要一個用於表示池塘表面狀態的函數。

def DisplayArray(a, fmt='jpeg', rng=[0,1]):
  """Display an array as a picture."""
  a = (a - rng[0])/float(rng[1] - rng[0])*255
  a = np.uint8(np.clip(a, 0, 255))
  f = StringIO()
  PIL.Image.fromarray(a).save(f, fmt)
  display(Image(data=f.getvalue()))

最後，爲了方便演示，這裏我們需要打開一個 TensorFlow 的交互會話（interactive session）。當然爲了以後能方便調用，我們可以把相關代碼寫到一個可以執行的Python文件中。

sess = tf.InteractiveSession()

定義計算函數

def make_kernel(a):
  """Transform a 2D array into a convolution kernel"""
  a = np.asarray(a)
  a = a.reshape(list(a.shape) + [1,1])
  return tf.constant(a, dtype=1)

def simple_conv(x, k):
  """A simplified 2D convolution operation"""
  x = tf.expand_dims(tf.expand_dims(x, 0), -1)
  y = tf.nn.depthwise_conv2d(x, k, [1, 1, 1, 1], padding='SAME')
  return y[0, :, :, 0]

def laplace(x):
  """Compute the 2D laplacian of an array"""
  laplace_k = make_kernel([[0.5, 1.0, 0.5],
                           [1.0, -6., 1.0],
                           [0.5, 1.0, 0.5]])
  return simple_conv(x, laplace_k)

定義偏微分方程

首先,我們需要創建一個完美的 500 × 500 的正方形池塘,就像是我們在現實中找到的一樣。

N = 500

然後，我們需要創建了一個池塘和幾滴將要墜入池塘的雨滴。

# Initial Conditions -- some rain drops hit a pond

# Set everything to zero
u_init = np.zeros([N, N], dtype="float32")
ut_init = np.zeros([N, N], dtype="float32")

# Some rain drops hit a pond at random points
for n in range(40):
  a,b = np.random.randint(0, N, 2)
  u_init[a,b] = np.random.uniform()

DisplayArray(u_init, rng=[-0.1, 0.1])

現在，讓我們來指定該微分方程的一些詳細參數。

# Parameters:
# eps -- time resolution
# damping -- wave damping
eps = tf.placeholder(tf.float32, shape=())
damping = tf.placeholder(tf.float32, shape=())

# Create variables for simulation state
U  = tf.Variable(u_init)
Ut = tf.Variable(ut_init)

# Discretized PDE update rules
U_ = U + eps * Ut
Ut_ = Ut + eps * (laplace(U) - damping * Ut)

# Operation to update the state
step = tf.group(
  U.assign(U_),
  Ut.assign(Ut_))

開始仿真

爲了能看清仿真效果，我們可以用一個簡單的 for 循環來遠行我們的仿真程序。

# Initialize state to initial conditions
tf.initialize_all_variables().run()

# Run 1000 steps of PDE
for i in range(1000):
  # Step simulation
  step.run({eps: 0.03, damping: 0.04})
  # Visualize every 50 steps
  if i % 50 == 0:
    clear_output()
    DisplayArray(U.eval(), rng=[-0.1, 0.1])

看！！ 雨點落在池塘中,和現實中一樣的泛起了漣漪。http://www.aibbt.com/a/16370.html