Euclid 算法

Euclid 算法

今天在看RSA加密算法的時候看到了可以用擴充的euclid算法來簡化d的計算。一查才發現原來euclid算法算法就是下面這個式子：

 

GCED (a, b) = GCED (b, a % b)

下面這個是著名求最大公約數的輾轉相除算法的代碼實現：

int Euclid_Algorithm (int m, int n)
{
        int temp = m;

        if (!m || !n) return 0;
        if (m < n)    {m = n; n = temp;}

        while (1) {
                if (!(m = m % n)) return n;
                if (!(n = n % m)) return m;
        }
}

而擴展的euclid算法的原理是這樣的：

k*k-1=1(mod 26)

k-1叫k的模逆, 可以用擴展的Euclid算法求出來。

 

ax = 1 (mod 26) 其中x = a-1

相當於 ax + by = 1，b = 26，求滿足條件的一組x, y。當然我們只要x就好.

現在考慮一般的 ax + by = 1 如何求解。

因爲滿足條件的x, y存在的條件是GC&D(a, b) = 1.

然後有 ax + by = GC&D (a, b)

而同時有 bx' + (a % b)y' = GCED (b, a % b)

由Euclid定理GCED (a, b) = GCED (b, a % b)

所以, 有ax + by = bx' + (a % b)y'= bx' + (a - [a/b]*b)y'= bx' + ay' - [a/b]*b y'= ay' + b(x' - [a/b]y')

對應, 得x = y'，y = x' - [a/b]y'。[a/b]是a/b再取整。

特別的, 在b = 0的時候, GCED (a, b) = a = a * 1 + b * 0

即 x = 1, y = 0