bzoj3994 [SDOI2015]約數個數和

題目

反演的經典套路題目。

對於這種題，套路無非就是先用狄利克雷卷積一下，然後交換求和順序，最後就能化爲一個 n√ 的求和了。

對於交換順序這個事，只要注意一下各個變量的依賴關係就好了。

對於這道題來說：

∑ni=1∑mj=1d(i,j)=∑ni=1∑mj=1[ni][mj][gcd(i,j)==1]
∑ni=1∑mj=1[ni][mj][gcd(i,j)==1]=∑ni=1∑mj=1∑d|gcd(i,j)[ni][mj]μ(d)
∑ni=1∑mj=1∑d|gcd(i,j)[ni][mj]μ(d)=∑min(m,n)d=1∑[nd]i=1∑[md]j=1μ(d)[ni][mj]
∑min(m,n)d=1∑[nd]i=1∑[md]j=1μ(d)[ni][mj]=∑min(m,n)d=1μ(d)∑[nd]i=1[ni]∑[md]j=1[mj]
∑min(m,n)d=1μ(d)∑[nd]i=1[ni]∑[md]j=1[mj]=∑min(m,n)d=1μ[d]f([nd])f([md])

所以，最終答案就是∑min(m,n)d=1μ[d]f([nd])f([md]) ,其中，f(n)表示n的約數個數。

之後就又是套路的求前綴和了。

#include<bits/stdc++.h> 
#define N 50000
using namespace std;
int miu[N+5],f[N+5],d[N+5];
int prime[N+5],P[N+5],cnt;
int T,m,n;
long long ans;
inline char nc()
{
    static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;
    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline int read()
{
    int x=0,b=1;
    char c=nc();
    for(;!(c<='9'&&c>='0');c=nc())if(c=='-')b=-1;
    for(;c<='9'&&c>='0';c=nc())x=x*10+c-'0';
    return x*b;
}
inline void init()
{
    miu[1]=f[1]=1;P[1]=true;
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        if(!P[i])prime[++cnt]=i,f[i]=2,miu[i]=-1,d[i]=1;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=N;j++)
        {
            P[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                miu[i*prime[j]]=0;
                d[i*prime[j]]=d[i]+1;
                f[i*prime[j]]=f[i]/(d[i]+1)*(d[i]+2);
                break;
            }
            miu[i*prime[j]]=-miu[i];
            f[i*prime[j]]=2*f[i];
            d[i*prime[j]]=1;
        }
    }
    for(int i=1;i<=N;i++)f[i]+=f[i-1],miu[i]+=miu[i-1];
}
inline void write(long long x)
{
    if(x==0)putchar('0');
    else
    {
        char buf[15];
        int len=0;
        if(x<0)putchar('-'),x=-x;
        while(x)buf[++len]=x%10+'0',x/=10;
        for(int i=len;i>=1;i--)putchar(buf[i]);
    }
    putchar('\n');
}
int main()
{ 
    freopen("in.txt","r",stdin);
    init();
    T=read();
    while(T--)
    {
        n=read(),m=read();
        if(n>m)swap(m,n);
        ans=0;
        for(int i=1,j;i<=n;i=j+1)
        {
            j=min(n/(n/i),m/(m/i));
            ans+=1LL*(miu[j]-miu[i-1])*f[n/i]*f[m/i];
        }
        write(ans);
    }
    return 0;
}

哇，這個公式把我噁心到了，太難寫了。。。