Graham Scan算法说明了凸包构造问题的下界O(nlogn)是可以达到的。其实O(nlogn)的算法远不止这一种，分治法就是一种能达到O(nlogn)复杂度的思想。在此引入运用分治思想的两种算法来构造凸包。
一、归并排序与分治思想
引入新算法之前依旧先来回顾一个经典排序算法：归并排序（merge sort）。归并排序的基本流程如下：
算法分为两个阶段：分（divide）和归并（merge）。分的阶段将待排序列均分到一个个子序列（如图中划分到单个元素）。归并阶段将分好的子序列两两合并成有序序列，重复合并的过程直到整体归为一个序列。归并过程共logn步，每步耗费n的时间，总体复杂度为O(nlogn)。
归并排序的过程就是一个典型的分治（divide-and-conquer）策略。凸包构造问题也可以套用这种策略来分而治之，逐步求解。我们可以将待处理点集S分为同等规模的两个子点集，并分别对其求凸包。
有了两个子解后，问题就变成了如何适当加一些边，将两个子凸包merge成整体解。分治法核心的任务就是如何merge。
二、分治法（1）
接下来的分析不考虑退化情况，比如三点共线等特殊情况的处理。
分治法解决问题的过程可以概括为：大事化小，小事化了。就是首先将问题划分为易求解的子问题，子问题套用已知方法解答即可。例如子凸包的构造就能用Graham Scan来解决。
Graham Scan解决问题的前提是：参照基准点，其他点按极角有序排列，也就是构成了一个有序的星形多边形（star-shaped polygon）。首先要做的就是将两个子凸包预处理成两个star-shaped polygon。
由于任何一个凸多边形都是star-shaped polygon，它必然有一个核，其他点按极角有序排列。问题在于如何找到一个公共核，使得两个子凸包同时关于这个核是极角有序排列的。也就是公共核处于两个凸包的交部分，这样是最好处理的情况（如下左图）。不过还有可能有其他情况，不能找到公共核（如下中图），甚至两个凸包根本不相交（如下右图）：
这就要将分治策略分不同情况来实现。首先看最简单的情况，两个子凸包有公共核。
先找其中一个子凸包的核，我们可以任取该子凸包上的三点构成三角形，求三角形重心作为核。然后判断这个核是否也在另一个子凸包内部，若判定为真，就是有公共核的最简单情况。判定方法也就是之前提过的in convex polygon test，对凸包每条边做to left test即可，在线性时间内可以判定。
相对于公共核，两个子凸包的各自有序排列，相互交错。要做的就是将二者点序列合并，方法正是典型的二路归并，线性时间可以完成。最后进行Graham Scan即可得到大凸包。
存在公共核的情况处理是很简单的，再看第一个子凸包的核落在第二个子凸包外部的情况。如下图所示：
这中情况与增量构造法的情况很相似，P1的核x相对于P2就是一个新加入的点。做出两条support line：x→t和x→s，舍弃P2上t→s路径的点即可。这样P2中剩余点与x构成了一个星形多边形，x也成为了P2的核。这就转化成了第一种有公共核的情况。
三、分治法（2）
上述分治策略的算法过于复杂，所以引入一种更加简明的分治策略。这种分治策略也会为三角剖分等问题提供思路。
首先规定一种点集划分的策略。假设待合并的两个子凸包是沿着某方向是分离的，二者不想交。例如下图凸包P1和P2就是相互分离的：
这样划分会使得合并更加简明，不必区分多种复杂情况。为了满足这种划分策略，引入一种预处理，也就是一个x方向的排序过程（X-sorting）。排序后就可取点x座标的中值，将点集划分为规模相当的左右两个子集。每个凸包都有其最左点l和最右点r，如上图。
merge操作就是将两个左右相离的两个子凸包合并为一个大凸包的过程了。运算的关注的正是两对l和r点。
先直观感受一下merge操作要添加的新极边：
上下两条紫色边正是要求的新边，又称支撑边（support line），并且每次merge只会增加两条新边。两条边类似两个圆的公切线（common tangent），将二者连接起来。
直观上感觉，两条support line正是两个子凸包的最高点t和最低点b相互连接得到的，这些点只需线性时间就能找到。当真如此的话凸包构造的下界就成了O(n)，显然直觉是错误的。例如下面的两种情况，support line就和b、t两点没有直接关系了：
构造support line的过程需要缜密的分析，并非凭直觉能得到的。
构造过程首先从左凸包的r点和右凸包的l点连线开始，以这条线为基础逐步得到support line。
注意一个细节问题：如何得到各子凸包的l点和r点。每次合并都会产生新的凸包，所以凸包是一个动态的结构。当然可以每次计算出最左点和最右点，只需要线性时间。但是这并不是最优的方式。考虑分治的思想，就整个merge流程来讲，是自底向上将子凸包两两合并的过程。因此只要在最底层上最小的子凸包中记录最左点和最右点，每次merge更新一下这两个变量即可，只需要O(1)的常数时间！这种优化对整体的复杂度上线nlogn虽然没有影响，也能为程序节省一部分的开销。
再看如何将最初的r-l线变成support line，在此以upper support line为例。算法的核心依然是to left test。
观察support line的两个端点的特征，可以看出他们对于前驱后继都是RR或LL型的，也就是前后相邻的点都落在support line的同侧。其余任两点的连线都只能是LR或RL的，这也是增量构造算法的核心思想。两次to left 测试即可得出类型。
从r-l线出发，首先看l点，可以发现其前驱后继相对于r→l是RL型的。若要得到RR型的特征，必须向其后继方向推进一个单位。
将l点向其后继推进一单位，更新了r-l线。判定l点依旧是RL型的，r-l线还不是support line，继续推进l点。判定新的r-l线，l点的特征变为了RR型，暂时可以认为l点满足要求，接下来考察r点。
r点的前驱后继对于线l→r是RL型的，若要得到LL的特征，必须向其前驱方向推进一个单位。以此往复，直到r点特征变为LL。
然后回头考察l点，发现此时l点已经不满足RR了，变回了RL。继续同样的步骤推进l点直到特征变为RR。然后在回头考察r点，发现它依旧满足LL，算法停止。至此r和l两点连线就是upper support line了，同样lower support line构造方式类似。
回顾由r-l线逐步推进得到support line的过程，每次操作一个端点，得到是一种“Z”字形（zig-zag）的推进轨迹。操作点的切换由另一点满足要求决定，而算法停止的依据是两个端点同时满足了要求。这种方式类似快速排序构造轴点的过程，左右两轴点交替操作，直到二者都满足要求时算法停止。
如此通过两次“zig-zag”的过程就能得到两条support line，完成两个子凸包的合并。
分析一下算法时间复杂度。算法首先要按照x座标排序，排序复杂度为O(nlogn)。再看merge过程，无论是左侧子凸包还是右侧子凸包，对于其每个点的操作至多只有以此，也就是每次归并是线性时间。归并共logn次，算法的总体复杂度就是O(nlogn)了。
最后总结一下第二种分治法的特点。此前Jarvis March算法虽然以平方复杂度为上界，但其”输出敏感性“使得实际复杂度为O(hn)，最好情况下仅甚至为线性。例如如下情况：
Jarvis March算法的复杂度变为了O(4n)，而此种分治法依旧会经历按部就班的X-sorting，一上来就注定了O(nlogn)的复杂度，然后经历同样O(nlogn)的merge过程。也就是说这种分治法在各种情况下的表现都是很均匀的。
本文是学堂在线课程《计算几何》的笔记，帮助理解和记录思考过程，不够严谨请见谅。