本文簡明講述GMM-HMM在語音識別上的原理，建模和測試過程。這篇blog只回答三個問題：
1. 什麼是Hidden Markov Model？
HMM要解決的三個問題:
1) Likelihood
2) Decoding
3) Training
2. GMM是神馬？怎樣用GMM求某一音素（phoneme）的概率？
3. GMM+HMM大法解決語音識別
3.1 識別
3.2 訓練
3.2.1 Training the params of GMM
3.2.2 Training the params of HMM
首先聲明我是做視覺的不是做語音的，迫於**需要24小時速成語音。上網查GMM-HMM資料中文幾乎爲零，英文也大多是paper。苦苦追尋終於貌似搞懂了GMM-HMM，感謝語音組老夏（http://weibo.com/ibillxia）提供資料給予指導。本文結合最簡明的概括還有自己一些理解應運而生，如有錯誤望批評指正。
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1. 什麼是Hidden Markov Model？
ANS：一個有隱節點（unobservable）和可見節點（visible）的馬爾科夫過程（見詳解）。
隱節點表示狀態，可見節點表示我們聽到的語音或者看到的時序信號。
最開始時，我們指定這個HMM的結構，訓練HMM模型時：給定n個時序信號y1...yT（訓練樣本）, 用MLE（typically implemented in EM） 估計參數：
1. N個狀態的初始概率
2. 狀態轉移概率a
3. 輸出概率b
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- 在語音處理中，一個word由若干phoneme（音素）組成；
- 每個HMM對應於一個word或者音素（phoneme）
- 一個word表示成若干states，每個state表示爲一個音素
用HMM需要解決3個問題：
1）. Likelihood: 一個HMM生成一串observation序列x的概率< the Forward algorithm>
其中，αt（sj）表示HMM在時刻t處於狀態j，且observation = {x1,...,xt}的概率
aij是狀態i到狀態j的轉移概率，
bj（xt）表示在狀態j的時候生成xt的概率，
2）. Decoding: 給定一串observation序列x，找出最可能從屬的HMM狀態序列< the Viterbi algorithm>
在實際計算中會做剪枝，不是計算每個可能state序列的probability，而是用Viterbi approximation：
從時刻1：t，只記錄轉移概率最大的state和概率。
記Vt(si)爲從時刻t-1的所有狀態轉移到時刻t時狀態爲j的最大概率：
記
進行Viterbi approximation過程如下：
然後根據記錄的最可能轉移狀態序列
3）. Training: 給定一個observation序列x，訓練出HMM參數λ = {aij, bij} the EM (Forward-Backward) algorithm
這部分我們放到“3. GMM+HMM大法解決語音識別”中和GMM的training一起講
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2. GMM是神馬？怎樣用GMM求某一音素（phoneme）的概率？
2.1 簡單理解混合高斯模型就是幾個高斯的疊加。。。e.g. k=3
fig2. GMM illustration and the probability of x
2.2 GMM for state sequence
每個state有一個GMM，包含k個高斯模型參數。如”hi“（k=3）：
PS：sil表示silence（靜音）
fig3. use GMM to estimate the probability of a state sequence given observation {o1, o2, o3}
其中，每個GMM有一些參數，就是我們要train的輸出概率參數
fig4. parameters of a GMM
怎麼求呢？和KMeans類似，如果已知每個點x^n屬於某每類 j 的概率p(j|x^n)，則可以估計其參數:
只要已知了這些參數，我們就可以在predict（識別）時在給定input sequence的情況下，計算出一串狀態轉移的概率。如上圖要計算的state sequence 1->2->2概率：
fig5. probability of S1->S2->S3 given o1->o2->o3
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3. GMM+HMM大法解決語音識別
<!--識別-->
我們獲得observation是語音waveform, 以下是一個詞識別全過程：
1). 將waveform切成等長frames，對每個frame提取特徵（e.g. MFCC）,
2).對每個frame的特徵跑GMM，得到每個frame(o_i)屬於每個狀態的概率b_state(o_i)
fig6. complete process from speech frames to a state sequence
3). 根據每個單詞的HMM狀態轉移概率a計算每個狀態sequence生成該frame的概率; 哪個詞的HMM 序列跑出來概率最大，就判斷這段語音屬於該詞
宏觀圖：
fig7. Speech recognition, a big framework
(from Encyclopedia of Information Systems, 2002)
<!--訓練-->
好了，上面說了怎麼做識別。那麼我們怎樣訓練這個模型以得到每個GMM的參數和HMM的轉移概率什麼的呢？
①Training the params of GMM
GMM參數：高斯分佈參數：
從上面fig4下面的公式我們已經可以看出來想求參數必須要知道P(j|x),即，x屬於第j個高斯的概率。怎麼求捏？
fig8. bayesian formula of P( j | x )
根據上圖 P（j | x）, 我們需要求P(x|j)和P（j）去估計P(j|x).
這裏由於P(x|j)和P（j）都不知道，需要用EM算法迭代估計以最大化P(x) = P(x1)*p(x2)*...*P(xn)：
A. 初始化（可以用kmeans）得到P(j)
B. 迭代
E（estimate）-step: 根據當前參數 (means, variances, mixing parameters)估計P(j|x)
M（maximization）-step: 根據當前P(j|x) 計算GMM參數（根據fig4 下面的公式：）
②Training the params of HMM
前面已經有了GMM的training過程。在這一步，我們的目標是：從observation序列中估計HMM參數λ；
假設狀態->observation服從單核高斯概率分佈：
HMM訓練過程：迭代
E（estimate）-step: 給定observation序列，估計時刻t處於狀態sj的概率
M（maximization）-step: 根據
其中，
E-step: 給定observation序列，估計時刻t處於狀態sj的概率
爲了估計
這個可以遞歸計算：β_t（si）=從狀態 si 轉移到其他狀態 sj 的概率aij * 狀態 i 下觀測到x_{t+1}的概率bi(x_{t+1}) * t時刻處於狀態sj的話{t+1}後observation概率β_{t+1}（sj）
即：
定義剛纔的
由於分子p(A,B|C)爲
其中，αt（sj）表示HMM在時刻t處於狀態j，且observation = {x1,...,xt}的概率
且
finally, 帶入
好，終於搞定！對應上面的E-step目標，只要給定了observation和當前HMM參數 λ，我們就可以估計
M-step：根據
對於λ中高斯參數部分，和GMM的M-step是一樣一樣的（只不過這裏寫成向量形式）：
對於λ中的狀態轉移概率aij, 定義C(Si->Sj)爲從狀態Si轉到Sj的次數，有
實際計算時，定義每一時刻的轉移概率
那麼就有：
把HMM的EM迭代過程和要求的參數寫專業點，就是這樣的：
PS：這個訓練HMM的算法叫 Forward-Backward algorithm。
一個很好的reference：點擊打開鏈接
轉自：http://blog.csdn.net/abcjennifer/article/details/27346787