做了Pongo的題覺得深受打擊，關於倒水問題總結下。
直到看到這篇文章倒水問題給出一個想法，只是發現 A：25L，B：5L，要湊成C：7L，還有8L和2L湊成3L（偶數的和不可能是奇數吧）。但是沒總結出什麼來。 糾結於：ax+by = c 有解無解的情況（昨晚發現自己的糾結是對的，從倒水問題的3個相關文章）。
第一篇文章很通俗的表達，但數未從數學角度闡述，所以打算完善一下。
- 但是文章只是能解決相當簡單的問題，並未對情況進行區分，遇到A和B不能得到C的情況，只是陷入循環中不能退出，並不給出提示。此文的解決，有賴於ax+by = c 有解無解的情況，此問題可以用歐幾里德擴展定理解決。這個是本文的重點。
- 對於C大於A 和B的情況，文章並未提到，雖然很簡單。（）
- 對於分析中提到的小容器的水不斷倒入大容器中，程序中並未區分大小容器。
-----------------yiyi-----------------------------------------------歐幾里德算法------------------------------------------------------
擴展歐幾里德算法的應用主要有以下三方面：
（1）求解不定方程；
（2）求解模線性方程（線性同餘方程）；
（3）求解模的逆元；
首先擴展歐幾里德主要是用來與求解線性方程相關的問題。
現在假設這個線性方程爲a*x+b*y=m，如果這個線性方程有解，那麼一定有gcd(a,b) | m，即a，b的最大公約數能夠整除m(m%gcd(a,b)==0)。證明很簡單，由於a%gcd(a,b)==b%gcd(a,b)==0，所以a*x+b*y肯定能夠整除gcd(a,b)，如果線性方程成立，那麼就可以用m代替a*x+b*y，從而得到上面的結論，利用上面的結論就可以用來判斷一個線性方程是否有解。
1.令a1=a/gcd(a,b)，b1=b/gcd(a,b)，m1=m/gcd(a,b)。
如果我們能夠首先求出滿足a*x1+b*y1=gcd(a,b)這個方程的x1和y1，那麼x=x1*m1,y=y1*m1就可以求出來了。
由歐幾里德算法：
gcd(a,b)=gcd(b,a%b)，
所以
a*x1+b*y1=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=b*x2+(a%b)*y2，
現在只要做一些變形就可以得到擴展歐幾里德算法中的用到的式子了。
令k=a/b(商)，r=a%b(餘數)，
那麼a=k*b+r。
所以r=a-k*b，帶入上式，
得到
a*x1+b*y1=b*x2+(a-(a/b)*b)y2=a*y2+b*(x2-(a/b)*y2)
=> x1=y2，y1=x2-(a/b)*y2。
有了這兩個式子我們就知道了在用歐幾里德求最大公約數的時候，相應的參數x，y的變化。
現在再回過頭來看一下擴展歐幾里德算法的代碼就很好理解了，實際上擴展歐幾里德就是在求a和b的最大公約數的同時，也將滿足方程a*x1+b*y1=gcd(a,b)的一組x1和y1的值求了出來。下面代碼中突出的部分就是標準的歐幾里德算法的代碼
__int64 exGcd(__int64 a,__int64 b,__int64 &x,__int64 &y){
if(b==0){
x=1;
y=0;
return a;
}
__int64 g=exGcd(b,a%b,x,y);
__int64 temp=x;
x=y;
y=temp-(a/b)*y;
return g;
}
那麼x，y的一組解就是x1*m1，y1*m1，但是由於滿足方程的解無窮多個，在實際的解題中一般都會去求解x或是y的最小正數的值。以求x爲例，又該如何求解呢？還是從方程入手，現在的x，y已經滿足a*x+b*y=m，那麼a*(x+n*b)+b*(y-n*a)=m顯然也是成立的。可以得出x+n*b(n=…，-2，-1，0，1，2，…)就是方程的所有x解的集合，由於每一個x都肯定有一個y和其對應，所以在求解x的時候可以不考慮y的取值。取k使得x+k*b>0，x的最小正數值就應該是(x+k*b)%b，但是這個值真的是最小的嗎？？如果我們將方程最有兩邊同時除以gcd(a,b)，則方程變爲a1*x+b1*y=m1，同上面的分析可知，此時的最小值應該爲(x+k*b1)%b1，由於b1<=b，所以這個值一定會小於等於之前的值。在實際的求解過程中一般都是用while(x<0)x+=b1來使得爲正的條件滿足，爲了更快的退出循環，可以將b1改爲b(b是b1的倍數)，並將b乘以一個倍數後再加到x上
加上判別給定a,b,c，問是否能夠通過有限次操作，使得水缸最後恰好有C升水。//還需修改，只是判定有無解，並未給出解
bool can(int a, int b, int n)//返回true則有解，false則無解
{
int e,i,d;
int x,y;
d = gcd(a, b, x, y);
if (n%d>0) {
return false;
} else {
return true;
}
}
其中使用的函數gcd
int gcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
int t,d;
if (b==0) {x=1;y=0;return a;}
d=gcd(b,a %b,x,y);
t=x;
x=y;
y=t-a/b*y;
return d;
}
_-------------二二-----------------對於C>b,C>a的情況---------------------
對於C大於兩種情況的，只需求出C對其中一個求餘，一旦得到餘數，倒入C，再倒入整數倍的A或者B即可。
對於goal_volume > a_volume goal_volume > b_volume的情況
的if (a_water == goal_volume||(goal_volume - a_water )%a_volume==0)
break;
b的判定同樣
------------------------------------------------------------------------小桶往大桶中倒水，或者大桶往小桶中倒---------------------------------------------------------------
兩種情況在某種情況下，情況差異比較大，稍後會對這種情況，總結
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-------------------------------------------------------------------用寬度優先搜索（BFS）-----------------------------------
之前對用寬度優先搜索（BFS）有過了解，但是在此處依舊忘了，稍後需複習
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參考文獻：
歐幾里德與擴展歐幾里德算法http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html
歐幾里德算法
歐幾里德算法又稱輾轉相除法，用於計算兩個整數a,b的最大公約數。
基本算法：設a=qb+r，其中a，b，q，r都是整數，則gcd(a,b)=gcd(b,r)，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。
第一種證明：
a可以表示成a = kb + r，則r = a mod b
假設d是a,b的一個公約數，則有
d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公約數
假設d 是(b,a mod b)的公約數，則
d | b , d |r ，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公約數
因此(a,b)和(b,a mod b)的公約數是一樣的，其最大公約數也必然相等，得證
第二種證明：
要證歐幾里德算法成立，即證: gcd(a,b)=gcd(b,r),其中 gcd是取最大公約數的意思，r=a mod b
下面證 gcd（a，b）=gcd（b，r）
設 c是a，b的最大公約數，即c=gcd（a，b），則有 a=mc，b=nc，其中m，n爲正整數，且m，n互爲質數
由 r= a mod b可知，r= a- qb 其中，q是正整數，
則 r=a-qb=mc-qnc=（m-qn）c
b=nc,r=(m-qn)c，且n，（m-qn）互質（假設n，m-qn不互質，則n=xd, m-qn=yd 其中x,y,d都是正整數，且d>1
則a=mc=(qx+y)dc, b=xdc,這時a,b 的最大公約數變成dc，與前提矛盾，
所以n ，m-qn一定互質）
則gcd（b,r）=c=gcd（a,b）
得證。
算法的實現：
最簡單的方法就是應用遞歸算法，代碼如下：
1 int gcd(int a,int b) 2 { 3 if(b==0) 4 return a; 5 return 6 gcd(b,a%b); 7 }
代碼可優化如下：
1 int gcd(int a,int b) 2 { 3 return b ? gcd(b,a%b) : a; 4 }
當然你也可以用迭代形式：
1 int Gcd(int a, int b) 2 { 3 while(b != 0) 4 { 5 int r = b; 6 b = a % b; 7 a = r; 8 } 9 return a; 10 }
擴展歐幾里德算法
基本算法：對於不完全爲 0 的非負整數 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公約數，必然存在整數對 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。
證明：設 a>b。
1，顯然當 b=0，gcd（a，b）=a。此時 x=1，y=0；
2，ab!=0 時
設 ax1+by1=gcd(a,b);
bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
根據樸素的歐幾里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
則:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;
即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;
根據恆等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;
這樣我們就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基於 x2，y2.
上面的思想是以遞歸定義的，因爲 gcd 不斷的遞歸求解一定會有個時候 b=0，所以遞歸可以結束。
擴展歐幾里德的遞歸代碼：
1 int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) 2 { 3 if(b==0) 4 { 5 x=1; 6 y=0; 7 return a; 8 } 9 int r=exgcd(b,a%b,x,y); 10 int t=x; 11 x=y; 12 y=t-a/b*y; 13 return r; 14 }
擴展歐幾里德非遞歸代碼：
1 int exgcd(int m,int n,int &x,int &y) 2 { 3 int x1,y1,x0,y0; 4 x0=1; y0=0; 5 x1=0; y1=1; 6 x=0; y=1; 7 int r=m%n; 8 int q=(m-r)/n; 9 while(r) 10 { 11 x=x0-q*x1; y=y0-q*y1; 12 x0=x1; y0=y1; 13 x1=x; y1=y; 14 m=n; n=r; r=m%n; 15 q=(m-r)/n; 16 } 17 return n; 18 }
擴展歐幾里德算法的應用主要有以下三方面：
（1）求解不定方程；
（2）求解模線性方程（線性同餘方程）；
（3）求解模的逆元；
（1）使用擴展歐幾里德算法解決不定方程的辦法：
對於不定整數方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(p, q)=0,則該方程存在整數解，否則不存在整數解。
上面已經列出找一個整數解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(p, q)的一組解p0,q0後，p * a+q * b = Gcd(p, q)的其他整數解滿足：
p = p0 + b/Gcd(p, q) * t
q = q0 - a/Gcd(p, q) * t(其中t爲任意整數)
至於pa+qb=c的整數解，只需將p * a+q * b = Gcd(p, q)的每個解乘上 c/Gcd(p, q) 即可。
在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一組解p0,q0後，應該是得到p * a+q * b = c的一組解p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b))，
p * a+q * b = c的其他整數解滿足：
1 bool linear_equation(int a,int b,int c,int &x,int &y) 2 { 3 int d=exgcd(a,b,x,y); 4 if(c%d) 5 return false; 6 int k=c/d; 7 x*=k; y*=k; //求得的只是其中一組解 8 return true; 9 }
(2)用擴展歐幾里德算法求解模線性方程的方法：
同餘方程 ax≡b (mod n)對於未知數 x 有解，當且僅當 gcd(a,n) | b。且方程有解時，方程有 gcd(a,n) 個解。
求解方程 ax≡b (mod n) 相當於求解方程 ax+ ny= b, (x, y爲整數)
設 d= gcd(a,n)，假如整數 x 和 y，滿足 d= ax+ ny(用擴展歐幾里德得出)。如果 d| b，則方程
a* x0+ n* y0= d， 方程兩邊乘以 b/ d，(因爲 d|b，所以能夠整除)，得到 a* x0* b/ d+ n* y0* b/ d= b。
所以 x= x0* b/ d，y= y0* b/ d 爲 ax+ ny= b 的一個解，所以 x= x0* b/ d 爲 ax= b (mod n ) 的解。
ax≡b (mod n)的一個解爲 x0= x* (b/ d ) mod n，且方程的 d 個解分別爲 xi= (x0+ i* (n/ d ))mod n {i= 0... d-1}。
設ans=x*(b/d),s=n/d;
方程ax≡b (mod n)的最小整數解爲：(ans%s+s)%s;
相關證明：
證明方程有一解是: x0 = x'(b/d) mod n;
由 a*x0 = a*x'(b/d) (mod n)
a*x0 = d (b/d) (mod n) (由於 ax' = d (mod n))
= b (mod n)
證明方程有d個解: xi = x0 + i*(n/d) (mod n);
由 a*xi (mod n) = a * (x0 + i*(n/d)) (mod n)
= (a*x0+a*i*(n/d)) (mod n)
= a * x0 (mod n) (由於 d | a)
= b
首先看一個簡單的例子：
5x=4(mod3)
解得x = 2,5,8,11,14.......
由此可以發現一個規律，就是解的間隔是3.
那麼這個解的間隔是怎麼決定的呢？
如果可以設法找到第一個解，並且求出解之間的間隔，那麼就可以求出模的線性方程的解集了.
我們設解之間的間隔爲dx.
那麼有
a*x = b(mod n);
a*(x+dx) = b(mod n);
兩式相減，得到:
a*dx(mod n)= 0;
也就是說a*dx就是a的倍數，同時也是n的倍數，即a*dx是a 和 n的公倍數.爲了求出dx,我們應該求出a 和 n的最小公倍數,此時對應的dx是最小的.
設a 和 n的最大公約數爲d,那麼a 和 n 的最小公倍數爲(a*n)/d.
即a*dx = a*n/d;
所以dx = n/d.
因此解之間的間隔就求出來了.
代碼如下：
1 bool modular_linear_equation(int a,int b,int n) 2 { 3 int x,y,x0,i; 4 int d=exgcd(a,n,x,y); 5 if(b%d) 6 return false; 7 x0=x*(b/d)%n; //特解 8 for(i=1;i<d;i++) 9 printf("%d\n",(x0+i*(n/d))%n); 10 return true; 11 }
（3）用歐幾里德算法求模的逆元：
同餘方程ax≡b (mod n)，如果 gcd(a,n)== 1，則方程只有唯一解。
在這種情況下，如果 b== 1，同餘方程就是 ax=1 (mod n ),gcd(a,n)= 1。
這時稱求出的 x 爲 a 的對模 n 乘法的逆元。
對於同餘方程 ax= 1(mod n )， gcd(a,n)= 1 的求解就是求解方程
ax+ ny= 1，x, y 爲整數。這個可用擴展歐幾里德算法求出，原同餘方程的唯一解就是用擴展歐幾里德算法得出的 x 。