基於MATLAB的進制轉換

1、常用進制轉換方法（除k取餘法）

（1）十進制與二進制之間的轉換 

方法：除2取餘法,即每次將整數部分除以2,餘數爲該位權上的數,而商繼續除以2,餘數又爲上一個位權上的數,這個步驟一直持續下去,直到商爲0爲止,最後讀數時候,從最後一個餘數讀起,一直到最前面的一個餘數.

下面舉例： 將十進制的59轉換爲二進制得出結果爲（111011）2 

（2） 二進制與八進制、十六進制之間的轉換 

首先,我們需要了解一個數學關係,即2^3=8,2^4=16,而八進制和十六進制是用這種關係衍生而來的,即用三位二進制表示一位八進制,用四位二進制表示一位十六進制數. 接着,記住4個數字8、4、2、1（2^3=8、2^2=4、2^1=2、2^0=1）.

（3）八進制與十進制的轉換 

    1）八進制轉換爲十進制 
    方法：按權相加法,即將八進制每位上的數乘以位權,然後相加之和即是十進制數. 例：①將八進制數67.35轉換爲十進制 
    2）十進制轉換爲八進制 
    十進制轉換成八進制有兩種方法： 
    ①間接法：先將十進制轉換成二進制,然後將二進制又轉換成八進制 
    ②直接法：除8取餘法

2、大數進制轉換

（1）背景

以上講解的方法只適合位數較少的時候。而今這個大數據時代，我們要處理的數據動輒上萬，假如你需要將一個矩陣（元素值爲0,1。矩陣第一行第一列的元素爲這個大數的第一位，最後一行最後一列爲大數的最後一位）的所有值轉換爲其他進制，此時再採用除k取餘法將超出計算機的存儲空間，無法得到結果。因此需要引入大數進制轉換的方法。

（2）除法原理

我們先來看一下熟悉的十進制除法。

例：128÷4=32.我們是怎麼運算的呢？

·    第一位 1÷4=0……1；

·    第二位（1*10+2）÷4=3；

·    第三位 8÷4=2.

至此，除法結束，求得最終結果爲32.

那如果是128（10）=（？？）4這個又該怎麼轉換呢？有同學肯定會說除4取餘法啊。不好意思，我們這裏需要運用這個簡單的例子來引出大數進制轉換的核心，因此我們不這麼做。

從上一個例子中我們求得了128÷4的解爲32，我們將繼續這個過程，直到最終的商爲0，求解才結束。

接下來我們需要計算32÷4=8.同理，

·    第一位 3÷4=0......3;

·    第二位 （3*10+2）÷4=8

同樣的方法，求解 8÷4，

·    第一位 8÷4=2

接着求解2÷4

·    第一位 2÷4=0......2

至此求解結束。總結上述過程如下：第一次求解 128÷4=32 ，商爲 32 ，餘數爲 0 ；第二次求解 32÷4=8 ，商爲 8 ，餘數爲 0 ；第三次求解 8÷4 ，商爲 2 ，餘數爲 0；第四次求解 2÷4 =0......2 ， 商爲 0 ，餘數爲 2 。至此求解過程結束。聰明的同學可能已經發現我們在做什麼了。

總結：

        1）在將 m 進制的大數 big 轉換爲 n 進制的數的時候，我們需要用給定的大數去除以需要轉換的進制 n（求解 big 除以 n 的時候需要特別注意 big 的進制，否則模擬除法求解過程可能會出錯。） ；

        2）得到第一步求解的商和餘數，如果此時商爲 0  ，恭喜你轉換結束；否則繼續用商除以進制 n ，重複上述操作直至商爲0；

        3）逆序輸出得到的餘數，即爲所求。

綜合上述分析和總結我們可以得出：128（10）=（2000）4。我們來驗算下，2*4^3=2*64=128，好神奇啊，居然對了。話不多說直接上代碼。

（3）MATLAB代碼

function res=bin2tri(msg)
%進制轉換程序

%Inputs
%%% msgLen   ：   需要轉換的數據位數

%Outputs
%%% res      ：   求解的餘數矩陣，也就是求解後的存放結果的矩陣

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
%                   算法原理                       %
%       數字較小的時候可以採取除k取餘的方法          %
% 數字位數較大的時候需要模擬除法的原理來進行計算求解  %
%           本算法中一律採用大數求解法              %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
%                    例子                         %
%               (1001)2=(100)3                    %
%第一次                                           %
%1001/3，從千位開始求解。千位：1/3=0，餘數爲1       %
%                       百位：(1*2)/3=0，餘數爲2   %
%                       十位：(2*2)/3=1,餘數爲1    %
%                       個位：(1*2+1)/3=1，餘數爲0 %
%第二次                                            %
%11/3,從十位開始。       十位：1/3=0，餘數爲1       %
%                       個位：(1*2=1)/3=1，餘數爲0 %
%第三次                                            %
%1/3,從個位開始。        個位：1/3=0，餘數爲1       %
%第四次                                            %
%0/3，結束                                         %
%逆序取結果，得到100(最終餘數)                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% msg=[1 0 0 1];
% msg=randint(1,msgLen);
%原始進制
oldbase=2;
%新進制
newbase=3;
% 驗證結果正確性
% old=0;
% new=0;
% 求oldbase進制對應的值
% for i=1:size(msg,2)
%     old=old*oldbase+msg(i);
% end
%退出條件，被除數位數爲0表示求解結束
%餘數個數累加
j=1;
while 0~=size(msg,2)
    temp=0;
    i=1;
    %賦值msg
    n=1;
    %去除ansout中的前置零
    m=1;
    %從最高位逐位求解，模擬除法過程
    while i<=size(msg,2)
        temp=temp*oldbase+msg(i);
        %此處需特別注意matlab求解除法得到的不是int型，需使用fix函數
        ansout(i)=fix(temp/newbase);
        temp=mod(temp,newbase);
        i=i+1;
    end
    %保存餘數
    res(j)=temp;
    j=j+1;
    while m<=size(ansout,2) && ansout(m)==0
        m=m+1;
    end
    %消息清零，重新賦值，便於重複上述操作
    msg=[];
    for i=m:size(ansout,2)
        msg(n)=ansout(i);
        n=n+1;
    end
    ansout=[];
end
res=rot90(res,2);
% 求newbase對應的值
% for i=1:size(res,2)
%     new=new*newbase+res(i);
% end
end