使用MATLAB進行拉普拉斯逆變換

爲什麼要進行拉普拉斯逆變換

• 有些函數中複頻域中求解很困難，我們需要把它變換到時域中，或者想看它在時域中有什麼特性
• 爲了應付考試中的變態題目

函數名及使用步驟

• 使用syms 對變量進行定義
• 使用ilaplace()進行拉普拉斯逆變換

示例

• 簡單的冪函數

  
  octave:2> syms s;
  octave:3> ilaplace(1/s^3)
  ans = (sym)
  
     2
    t 
    ──
    2 
  

• 簡單的指數函數

   Octave的顯示更=跟MATLAB不太一樣
  

  octave:4> syms w;
  octave:5> ilaplace(2/(w+s))
  ans = (sym)
  
       -t⋅re(w) - ⅈ⋅t⋅im(w)
    2⋅ℯ                    
  

• 三角函數

  octave:7> ilaplace(s/(s^2+4))
  ans = (sym) cos(2⋅t)
  

複雜函數的拉普拉斯逆變換

現實中有很多函數通過手算有很大的計算量，或者根本沒有原函數，這個時候我們就只能通過MATLAB來求解

• 一個例子：

我們把它輸入到MATLAB中：

octave:8> F = (5-3*s)/(2+5*s)
F = (sym)

  5 - 3⋅s
  ───────
  5⋅s + 2

octave:9> f = ilaplace(F)
f = (sym)

                                                      -2⋅t 
                                                      ─────
                             ⎛   s               ⎞      5  
  - 3⋅InverseLaplaceTransform⎜───────, s, t, None⎟ + ℯ     
                             ⎝5⋅s + 2            ⎠         

上述結果也可以表示爲：

ilaplace(F)
ans = -3/5*dirac(t)+31/25*exp(-2/5*t)

注意：

其中dirac(t)稱爲狄拉克函數，在自動控制和信號與系統中也叫單位脈衝函數

• 一個更復雜的例子：

與上述步驟類似：

octave:11> F = (-s^2-9*s+4)/(s^2+s+2)
F = (sym)

     2          
  - s  - 9⋅s + 4
  ──────────────
     2          
    s  + s + 2  

octave:12> f = ilaplace(F)
Waiting....!!! OUT OF TIME !!!

這裏Octive已經崩潰了，可見這個原函數實在是太複雜了，我們這裏就不展示了，浪費空間。。。。

配合ezplot()函數繪製逆變換後的圖像

ezplot能夠進行符號計算，不需要自變量的數據就能根據函數特性繪製圖像，但通常要給自變量指定區間

例1

• 求解原函數

   syms s;
   F = 1/(s+7).^2;
   f = ilaplace(F);
  
  

  f =
   
  t*exp(-7*t)
  

• 繪製某個區間的圖像

   ezplot(f)
  

• 圖像

例2

與上述步驟類似，我們直接放代碼及結果：

• 代碼

   syms s;
   F = (2*s+3)/(((s+1).^2)*((s+3).^2));
   f = ilaplace(F)
   ezplot(f,[0 1])
  

  f =
   
  exp(-t)/4 - exp(-3*t)/4 + (t*exp(-t))/4 - (3*t*exp(-3*t))/4
  

• 圖像