簡單的傳球遊戲（矩陣快速冪） bnuoj49104

簡單的傳球遊戲

 

K(3<=K<=10^9)個人互相傳球，某人接球后立即傳給別人。假定初始狀態球在甲手中，並將甲發球作爲第一次傳球過程。求經過N(N<=10^9)次傳球后，球又回到甲手中的傳球方案數，輸出這個數模10^9+7後的結果。

Input

第一行是一個整數T(T<=20000)，表示測試數據的組數。

接下來T行，每行輸入兩個數N,K(3<=K<=10^9,1<= N<=10^9)。

Output

輸出T行，每行輸出一組N,K對應方案數模10^9+7後的結果。

Sample Input

2
3 3
3 4

Sample Output

2
6

Hint

第一組樣例，N=3,K=3，三個人傳三次的傳球方式是：

1. A->B->C->A

2. A->C->B->A

Source

第十三屆北京師範大學程序設計競賽決賽

Author

sqy

 

 

題目鏈接：http://www.bnuoj.com/bnuoj/problem_show.php?pid=49104

 

轉載自：http://blog.csdn.net/u010579068 

 

題目意思：有K個人相互傳球，從甲開始到甲結束，傳N次球。（注，自己不能傳給自己）

 

 

 

分析與解答：設第n次傳球后，球又回到甲手中的傳球方法有a[n]種，可以想象前n-1次傳球，如果每一次傳球都任選其他K-1人中的一人進行傳球，也就是每次傳球都有K-1種可能，由乘法原理，共有(K-1)^(n-1)種 。這些傳球方式並不完全符合條件，分爲兩類：一類是第n-1次恰好傳到甲手中，有a[n-1]種，不符合條件，因爲這樣第n次就不能再傳給甲了；另一類是第n-1次沒在甲手裏，第n次持球人再將球傳給甲有a[n]種方法,根據加法原理有a[n-1]+a[n]=(K-1)^(n-1)由於甲是發球者，所以a[1]=0;利用遞推關係可得

思路：an(n表示傳n次球,回到甲手中的次數);

          a1=0;

          a2=(K-1)^1-a1;

          a3=(K-1)^2-a2;

          a4=(K-1)^3-a3;

          ......

詳細代碼：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=1e3+100;
const int MOD=1e9+7;
typedef long long LL;
struct node{
	LL A[2][2];
	node(){
		memset(A,0,sizeof A);
	}
	node(const node &a){
		for(int i=0;i<2;i++){
			for(int j=0;j<2;j++){
				A[i][j]=a.A[i][j];
			}
		}
	}
};
node operator *(const node &a,const node &b){
	node c;
	for(int i=0;i<2;i++){
		for(int j=0;j<2;j++){
			for(int k=0;k<2;k++){
				c.A[i][j]=(c.A[i][j]+a.A[i][k]*b.A[k][j]%MOD)%MOD;
			}
		}
	}
	return c;
}
node Pow(int k,int n){
	node ans;
	ans.A[0][0]=1;
	ans.A[1][1]=1;
	node A;
	A.A[0][0]=k-1;//難點：構造矩陣
	A.A[0][1]=k-1;
	A.A[1][0]=0;
	A.A[1][1]=-1;
	while(n){
		if(n&1) ans=ans*A;
		n=n>>1;
		A=A*A;
	}
	return ans;
}
void work(int n,int k){
	LL ans=0;
	node a=Pow(k,n-1);
	ans=(a.A[0][1]%MOD+MOD)%MOD;
	printf("%lld\n",ans);
}
int main(){
	int t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		int n,m;
		scanf("%d%d",&n,&m);
		work(n,m);
	}
	return 0;
}