昨天我們介紹了矩陣的快速冪(點我)，相信大家對於矩陣快速冪都有一定的瞭解。大家也就知道快速冪對於冪運算的迅速，但是當出現了這樣的問題：
我們就會發現即便矩陣快速冪再快，我們計算和我們都是O(n)的算法。那麼在這個問題上，我們研究問題的重心就從矩陣的冪，轉化爲了矩陣冪的和。光看這個好像也想不出什麼，那麼我們換一個角度來思考這個問題。我們現在是要讓計算變得更快，對吧？那麼怎麼樣才能變得更快呢？時間複雜度的定義，就是從運算的次數來衡量時間的吧。那麼現在我們就有目標了。我們要怎麼減少運算的次數呢？顯然就是儘量避免重複計算，換而言之就是儘可能的找出公共部分。於是我們很容易的得到下列式子：
現在我們發現公共部分，我們已經找到了，提取公因式：
同理我們還可以繼續對式子後半部分（A^1 + A^2 + ... + A^(n/2) )做相同的處理，於是我們驚奇的發現，我們將O(n)的複雜度降低爲 O(log n)的時間複雜度了。
以下是代碼實現：
//Matrix 類,同矩陣快速冪的Matrix類
//倍增法求解a^1 + a^2 + ... + a^n
Matrix slove(const Matrix &a, int n){
//遞歸終點
if(n == 1) return a;
//temp 遞歸表示a^1 + a^2 + ... + a^(n/2)
Matrix temp = slove(a, n/2);
//sum 表示 a^1 + a^2 + ... + a^(n/2) + (a^(n/2))*(a^1 + a^2 + ... + a^(n/2))
Matrix sum = temp + temp*a.pow(n/2);
//如果當n爲奇數，我們會發現我們的(n/2 + n/2) == n-1
//於是我們需要補上一項： a^n
if(n & 1) sum = sum + a.pow(n);
return sum;
}
同樣的我們來一道題目練練手：UVA11149 - Power of Matrix
這是一道完全的模板題，完整的代碼如下：
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <limits.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
class Matrix{
public:
int **m;
int col, row, mod;
Matrix(int r = 0, int c = 0, int d = INT_MAX);
Matrix(const Matrix &value);
~Matrix();
Matrix operator + (const Matrix &rht) const;
Matrix operator * (const Matrix &rht) const;
Matrix& operator = (const Matrix &rht);
Matrix pow(int n) const;
};
Matrix::Matrix(int r, int c, int d):row(r), col(c), mod(d){
m = new int*[row];
for(int i = 0; i < row; i++){
m[i] = new int[col];
}
for(int i = 0; i < row; i++){
for(int j = 0; j < col; j++){
m[i][j] = 0;
}
}
}
Matrix::Matrix(const Matrix &value){
row = value.row;
col = value.col;
mod = value.mod;
m = new int*[row];
for(int i = 0; i < row; i++){
m[i] = new int[col];
}
for(int i = 0; i < row; i++){
for(int j = 0; j < col; j++){
m[i][j] = value.m[i][j];
}
}
}
Matrix::~Matrix(){
for(int i = 0; i < row; i++){
delete[] m[i];
}
delete[] m;
}
Matrix Matrix::operator + (const Matrix &rht) const{
Matrix temp(row, col, mod);
for(int i = 0; i < row; i++){
for(int j = 0; j < col; j++){
temp.m[i][j] = (m[i][j] + rht.m[i][j])%mod;
}
}
return temp;
}
Matrix Matrix::operator * (const Matrix &rht) const{
Matrix temp(row, rht.col, mod);
for(int i = 0; i < row; i++){
for(int k = 0; k < rht.row; k++){
for(int j = 0; j < rht.col; j++){
temp.m[i][j] = (temp.m[i][j] + m[i][k]*rht.m[k][j])%mod;
}
}
}
return temp;
}
Matrix& Matrix::operator = (const Matrix &rht){
for(int i = 0; i < row; i++){
for(int j = 0; j < col; j++){
m[i][j] = rht.m[i][j];
}
}
return *this;
}
//矩陣快速冪
Matrix Matrix::pow(int n) const{
Matrix a(*this), res(row, col, mod);
for(int i = 0; i < row; i++){
res.m[i][i] = 1;
}
while(n > 0){
if(n & 1) res = res * a;
a = a * a;
n >>= 1;
}
return res;
}
//Matrix 類,同矩陣快速冪的Matrix類
//倍增法求解a^1 + a^2 + ... + a^n
Matrix slove(const Matrix &a, int n){
//遞歸終點
if(n == 1) return a;
//temp 遞歸表示a^1 + a^2 + ... + a^(n/2)
Matrix temp = slove(a, n/2);
//sum 表示 a^1 + a^2 + ... + a^(n/2) + (a^(n/2))*(a^1 + a^2 + ... + a^(n/2))
Matrix sum = temp + temp*a.pow(n/2);
//如果當n爲奇數，我們會發現我們的(n/2 + n/2) == n-1
//於是我們需要補上一項： a^n
if(n & 1) sum = sum + a.pow(n);
return sum;
}
int main()
{
int n, k;
while(scanf("%d%d", &n, &k), n){
Matrix mat(n, n, 10);
for(int i = 0; i < n; i++){
for(int j = 0; j < n; j++){
scanf("%d", &mat.m[i][j]);
mat.m[i][j] %= 10;
}
}
Matrix ans = slove(mat, k);
for(int i = 0; i < n; i++){
for(int j = 0; j < n; j++){
if(j) printf(" ");
printf("%d", ans.m[i][j]);
}
printf("\n");
}
printf("\n");
}
return 0;
}