一
在算法分析中，當一個算法中包含遞歸調用時，其時間複雜度的分析會轉化爲一個遞歸方程求解。實際上，這個問題是數學上求解漸近階的問題，而遞歸方程的形式多種多樣，其求解方法也是不一而足，比較常用的有以下四種方法：
(1)代入法(Substitution Method)
代入法的基本步驟是先推測遞歸方程的顯式解，然後用數學歸納法來驗證該解是否合理。
(2)迭代法(Iteration Method)
迭代法的基本步驟是迭代地展開遞歸方程的右端，使之成爲一個非遞歸的和式，然後通過對和式的估計來達到對方程左端即方程的解的估計。
(3)套用公式法(Master Method)
這個方法針對形如“T(n) = aT(n/b) + f(n)”的遞歸方程。這種遞歸方程是分治法的時間複雜性所滿足的遞歸關係，即一個規模爲n的問題被分成規模均爲n/b的a個子問題，遞歸地求解這a個子 問題，然後通過對這a個子間題的解的綜合，得到原問題的解。
(4)差分方程法(Difference Formula Method)
可以將某些遞歸方程看成差分方程，通過解差分方程的方法來解遞歸方程，然後對解作出漸近階估計。
下面就以上方法給出一些例子說明。
一、代入法
大整數乘法計算時間的遞歸方程爲：T(n) = 4T(n/2) + O(n)，其中T(1) = O(1)，我們猜測一個解T(n) = O(n2 )，根據符號O的定義，對n>n0，有T(n) < cn2 - eO(2n)（注意，這裏減去O(2n)，因其是低階項，不會影響到n足夠大時的漸近性），把這個解代入遞歸方程，得到：
T(n) = 4T(n/2) + O(n)
≤ 4c(n/2)2 - eO(2n/2)) + O(n)
= cn2 - eO(n) + O(n)
≤ cn2
其中，c爲正常數，e取1，上式符合 T(n)≤cn2 的定義，則可認爲O(n2 )是T(n)的一個解，再用數學歸納法加以證明。
二、迭代法
某算法的計算時間爲：T(n) = 3T(n/4) + O(n)，其中T(1) = O(1)，迭代兩次可將右端展開爲：
T(n) = 3T(n/4) + O(n)
= O(n) + 3( O(n/4) + 3T(n/42 ) )
= O(n) + 3( O(n/4) + 3( O(n/42 ) + 3T(n/43 ) ) )
從上式可以看出，這是一個遞歸方程，我們可以寫出迭代i次後的方程：
T(n) = O(n) + 3( O(n/4) + 3( O(n/42 ) + ... + 3( n/4i + 3T(n/4i+1 ) ) ) )
當n/4i+1 =1時，T(n/4i+1 )=1，則
T(n) = n + (3/4) + (32 /42 )n + ... + (3i /4i )n + (3i+1 )T(1)
< 4n + 3i+1
而由n/4i+1 =1可知，i<log4 n，從而
3i+1 ≤ 3log4 n+1 = 3log3 n*log4 3 +1 = 3nlog4 3
代入得：
T(n) < 4n + 3nlog4 3，即T(n) = O(n)。
三、套用公式法
這個方法爲估計形如：
T(n) = aT(n/b) + f(n)
其中，a≥1和b≥1，均爲常數，f(n)是一個確定的正函數。在f(n)的三類情況下，我們有T(n)的漸近估計式：
1.若對於某常數ε>0，有f(n) = O(nlogb a-ε )，則T(n) = O(nlogb a )
2.若f(n) = O(nlogb a )，則T(n) = O(nlogb a *logn)
3.若f(n) = O(nlogb a+ε )，且對於某常數c>1和所有充分大的正整數n，有af(n/b)≤cf(n)，則T(n)=O(f(n))。
設T(n) = 4T(n/2) + n，則a = 4，b = 2，f(n) = n，計算得出nlogb a = nlog2 4 = n2 ，而f(n) = n = O(n2-ε )，此時ε= 1，根據第1種情況，我們得到T(n) = O(n2 )。
這裏涉及的三類情況，都是拿f(n)與nlogb a 作比較，而遞歸方程解的漸近階由這兩個函數中的較大者決定。在第一類情況下，函數nlogb a 較大，則T(n)=O(nlogb a )；在第三類情況下，函數f(n)較大，則T(n)=O(f (n))；在第二類情況下，兩個函數一樣大，則T(n)=O(nlogb a *logn)，即以n的對數作爲因子乘上f(n)與T(n)的同階。
但上述三類情況並沒有覆蓋所有可能的f(n)。在第一類情況和第二類情況之間有一個間隙：f(n)小於但不是多項式地小於nlogb a ，第二類與第三類之間也存在這種情況，此時公式法不適用。
二
遞歸函數時間複雜度分析
(1) 遞歸執行過程
例子：求N!。
這是一個簡單的"累乘"問題，用遞歸算法也能解決。
n! = n * (n - 1)! n > 1
0! = 1, 1! = 1 n = 0,1
因此，遞歸算法如下：
Java代碼
fact(int n) {
if(n == 0 || n == 1)
return 1;
else
return n * fact(n - 1);
}
以n=3爲例，看運行過程如下：
fact(3) ----- fact(2) ----- fact(1) ------ fact(2) -----fact(3)
------------------------------> ------------------------------>
遞歸 回溯
遞歸算法在運行中不斷調用自身降低規模的過程，當規模降爲1，即遞歸到fact(1)時，滿足停止條件停止遞歸，開始回溯(返回調用算法)並計算，從fact(1)=1計算返回到fact(2);計算2*fact(1)=2返回到fact(3)；計算3*fact(2)=6，結束遞歸。
算法的起始模塊也是終止模塊。
(2) 遞歸實現機制
每一次遞歸調用，都用一個特殊的數據結構"棧"記錄當前算法的執行狀態，特別地設置地址棧，用來記錄當前算法的執行位置，以備回溯時正常返回。遞歸模塊的形式參數是普通變量，每次遞歸調用得到的值都是不同的，他們也是由"棧"來存儲。
(3) 遞歸調用的幾種形式
一般遞歸調用有以下幾種形式(其中a1、a2、b1、b2、k1、k2爲常數)。
<1> 直接簡單遞歸調用： f(n) {...a1 * f((n - k1) / b1); ...};
<2> 直接複雜遞歸調用： f(n) {...a1 * f((n - k1) / b1); a2 * f((n - k2) / b2); ...};
<3> 間接遞歸調用： f(n) {...a1 * f((n - k1) / b1); ...}，
g(n) {...a2 * f((n - k2) / b2); ...}。
2. 遞歸算法效率分析方法
遞歸算法的分析方法比較多，最常用的便是迭代法。
迭代法的基本步驟是先將遞歸算法簡化爲對應的遞歸方程，然後通過反覆迭代，將遞歸方程的右端變換成一個級數，最後求級數的和，再估計和的漸進階。
<1> 例：n!
算法的遞歸方程爲： T(n) = T(n - 1) + O(1);
迭代展開： T(n) = T(n - 1) + O(1)
= T(n - 2) + O(1) + O(1)
= T(n - 3) + O(1) + O(1) + O(1)
= ......
= O(1) + ... + O(1) + O(1) + O(1)
= n * O(1)
= O(n)
這個例子的時間複雜性是線性的。
<2> 例：如下遞歸方程：
T(n) = 2T(n/2) + 2, 且假設n=2的k次方。
T(n) = 2T(n/2) + 2
= 2(2T(n/2*2) + 2) + 2
= 4T(n/2*2) + 4 + 2
= 4(2T(n/2*2*2) + 2) + 4 + 2
= 2*2*2T(n/2*2*2) + 8 + 4 + 2
= ...
= 2的(k-1)次方 * T(n/2的(i-1)次方) + $(i:1~(k-1))2的i次方
= 2的(k-1)次方 + (2的k次方) - 2
= (3/2) * (2的k次方) - 2
= (3/2) * n - 2
= O(n)
這個例子的時間複雜性也是線性的。
<3> 例：如下遞歸方程：
T(n) = 2T(n/2) + O(n), 且假設n=2的k次方。
T(n) = 2T(n/2) + O(n)
= 2T(n/4) + 2O(n/2) + O(n)
= ...
= O(n) + O(n) + ... + O(n) + O(n) + O(n)
= k * O(n)
= O(k*n)
= O(nlog2n) //以2爲底
一般地，當遞歸方程爲T(n) = aT(n/c) + O(n), T(n)的解爲：
O(n) (a<c && c>1)
O(nlog2n) (a=c && c>1) //以2爲底
O(nlogca) (a>c && c>1) //n的(logca)次方，以c爲底
上面介紹的3種遞歸調用形式，比較常用的是第一種情況，第二種形式也有時出現，而第三種形式(間接遞歸調用)使用的較少，且算法分析
比較複雜。 下面舉個第二種形式的遞歸調用例子。
<4> 遞歸方程爲：T(n) = T(n/3) + T(2n/3) + n
爲了更好的理解，先畫出遞歸過程相應的遞歸樹：
n --------> n
n/3 2n/3 --------> n
n/9 2n/9 2n/9 4n/9 --------> n
...... ...... ...... ....... ......
--------
總共O(nlogn)
累計遞歸樹各層的非遞歸項的值，每一層和都等於n，從根到葉的最長路徑是：
n --> (2/3)n --> (4/9)n --> (12/27)n --> ... --> 1
設最長路徑爲k，則應該有：
(2/3)的k次方 * n = 1
得到 k = log(2/3)n // 以(2/3)爲底
於是 T(n) <= (K + 1) * n = n (log(2/3)n + 1)
即 T(n) = O(nlogn)
由此例子表明，對於第二種遞歸形式調用，藉助於遞歸樹，用迭代法進行算法分析是簡單易行的。
三
遞歸算法的時間複雜度總結
很多算法都使用到了遞歸的方法，或者說遞歸的思想，即把一個問題劃分成同樣的小規模的問題，然後再解決，動態規劃，分而治之都是，遞歸算法的時間複雜度也有規律可循。
針對T(n) = aT(n/b) + f(n)這類遞歸，有以下規定
最後一段說的比較明白，這個定理記不住，但是一些非常典型的例子可以記住：
1.T(n)=2T(n/2) 和 T(n)=2T(n/2) +k
例子有 二叉樹的遞歸遍歷
時間複雜度 T(n)=O(n)
2.T(n)=2T(n/2)+kn+j
例子有 快速排序
時間複雜度爲 T(n)=O(nlogn)
3.T(n)=T(n/2)+kn+j
例子有 二叉樹最近公共祖先
時間複雜度爲T(n)=O(n)
最後對應T（N）=T（N-1）+T（N-2）
運行時間最大是T（N）》（3/2）^N，因此運行時間以指數速度增長。