问题描述
《审美的历程》课上有n位学生，帅老师展示了m幅画，其中有些是梵高的作品，另外的都出自五岁小朋友之手。老师请同学们分辨哪些画的作者是梵高，但是老师自己并没有答案，因为这些画看上去都像是小朋友画的……老师只想知道，有多少对同学给出的答案完全相反，这样他就可以用这个数据去揭穿披着皇帝新衣的抽象艺术了（支持帅老师_）。
答案完全相反是指对每一幅画的判断都相反。
输入格式
第一行两个数n和m，表示学生数和图画数；
接下来是一个n*m的01矩阵A：
如果aij=0，表示学生i觉得第j幅画是小朋友画的；
如果aij=1，表示学生i觉得第j幅画是梵高画的。
输出格式
输出一个数ans：表示有多少对同学的答案完全相反。
样例输入
3 2
1 0
0 1
1 0
样例输出
2
样例说明
同学1和同学2的答案完全相反；
同学2和同学3的答案完全相反；
所以答案是2。
数据规模和约定
对于50%的数据：n<=1000；
对于80%的数据：n<=10000；
对于100%的数据：n<=50000，m<=20。
解题思路与代码
暴力求解
思路就是定义一个足够空间的二维数组，每一行存放每位同学对画的看法，一共n行，m列。
输入数据后，
依次比较每一行元素是否都相反，是则ans++
由此时间复杂度为O(n2*m),由于n<=50000,m<=20，可能会超时。
代码
#include <iostream>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
using namespace std;
int a[50001][21];
int Compare(int i,int j,int m)
{
int x;
//比较第i行和第j行的所有数据是否完全相反,和为1
for(x=1;x<=m;x++){
if(a[i][x]+a[j][x]==0||a[i][x]+a[j][x]==2)//都是0或者都是1则不符合完全相反的条件
return 0;
}
if(x>m)
return 1;
//for循环执行完了才说明第i行和第j行的所有数据完全相反
}
int main()
{
int n,m;//两个数n和m，表示学生数和图画数；
cin>>n>>m;//n<=50000，m<=20。
//接下来输入n行，m列
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++){
cin>>a[i][j];
}
int ans=0;//最终的学生对数
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=i+1;j<=n;j++){
if(Compare(i,j,m)==1)
ans++;
}
cout<<ans;
return 0;
}
结果，只能过60%的数据。
二进制保存，取反操作
如果把每一位同学的看法(即每一行01序列)看成是一个二进制表示的数，则220-1最大不超过15000000，完全可以用32位的int表示。
如何判断两位同学的看法完全相反？
学过数字逻辑原理的课程，有异或，同或操作，异或的运算法则可以概括为相同为0，不同为1
如果一个二进制串与11…1异或，则实现了按位取反操作。这就是本思路的来源。
由此，所有同学的看法信息可以保存在一个一维数组中，整个算法的时间复杂度也降为O(n2)。
代码
#include <iostream>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
using namespace std;
int a[50001];//n<=50000
int main()
{
int n,m;//两个数n和m，表示学生数和图画数；
//n<=50000，m<=20。
cin>>n>>m;
//接下来输入n行
memset(a,0,sizeof(a));//a数组初值为0
for(int i=1;i<=n;i++){
int temp;
for(int j=1;j<=m;j++){
cin>>temp;
a[i] = (a[i]<<1) + temp;//构造二进制表达的整型数字
}
}
int ans = 0;
int max = (1<<m) - 1;//构造11...1序列
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=i+1;j<=n;j++){
if(a[i] == (a[j]^max))//如果a[i] == a[j]按位取反
ans++;
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
结果，只能过80%的数据
增强版二进制按位取反
只能过80%的数据说明O(n2)的时间复杂度还是可能会超时，必须再进行优化，优化的思路是：
统计每种看法二进制序列表示的数值相同的同学个数，将时间复杂度降为O(n)。
这样还需要定义一个b数组，每次求出a[i]的值之后b[a[i]]++;
b数组的最大长度为220-1 ;
这里就定义int b[15000001];
代码
#include <iostream>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
using namespace std;
int a[50001];
int b[1500001];
int main()
{
int n,m;//两个数n和m，表示学生数和图画数；
//n<=50000，m<=20。
cin>>n>>m;
//接下来输入n行
memset(a,0,sizeof(a));//a数组初值为0
memset(b,0,sizeof(b));//b数组初值为0
for(int i=1;i<=n;i++){
int temp;
for(int j=1;j<=m;j++){
cin>>temp;//构造二进制表达的整型数字
a[i] = (a[i]<<1) + temp;
}
b[a[i]]++;//统计持看法数值为a[i]的学生数
}
int ans = 0;
int max = (1<<m) - 1;//构造11...1序列
for(int i=1;i<=n;i++){
int temp = a[i]^max;//对i同学的看法数值进行按位取反，
//temp为按位取反之后的数值
//b[temp]为与i同学持完全相反观点的学生个数
ans += b[temp];
}
ans = ans/2;//要求出的是持完全相反观点的学生对数，对ans要减半。
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
结果，全部数据通过
