一、基本概念
在計算機科學中，分治法是一種很重要的算法。字面上的解釋是“分而治之”，就是把一個複雜的問題分成兩個或更多的相同或相似的子問題，再把子問題分成更小的子問題……直到最後子問題可以簡單的直接求解，原問題的解即子問題解的合併。這個技巧是很多高效算法的基礎，如排序算法（快速排序，歸併排序），傅里葉變換（快速傅里葉變換）……
任何一個可以用計算機求解的問題所需的計算時間都與其規模有關。問題的規模越小，越容易直接求解，解題所需的計算時間也越少。例如，對於 n 個元素的排序問題，當 n = 1 時，不需要任何計算。n = 2 時，只要作一次比較即可排好序。n = 3 時只要作 3 次比較即可…… 。而當 n 較大時，問題就不那麼容易處理了。要想直接解決一個規模較大的問題，有時是相當困難的。
二、基本思路及策略
分治法的設計思想是：將一個難以直接解決的大問題，分割成一些規模較小的相同問題，以便各個擊破，分而治之。
分治策略是：對於一個規模爲 n 的問題，若該問題可以容易地解決（比如 n 規模較小）則直接解決，否則將其分解爲 k 個規模較小的問題，這些子問題互相獨立且與原問題形式相同，遞歸的解決這些子問題，然後將各子問題的解合併得到原問題的解。這種算法設計策略叫做分治法。
如果原問題可以分割成 k 個子問題，1 < k <= n, 且這些子問題都可解並可以利用這些子問題的解求出原問題的解，那麼這種分治法就是可行的。由分治法產生的子問題往往是原問題的較小模式，這就爲使用遞歸技術提供了方便。在這種情況下，反覆應用分治手段，可以使子問題與原問題類型一致而其規模卻不斷減小，最終使子問題縮小到很容易直接求出其解。這自然導致遞歸過程的產生。分治與遞歸像一對孿生兄弟，經常同時應用在算法設計之中，並由此產生許多高效算法。
三、分治法適用的情況
分治法所能解決的問題一般具有以下幾個特徵：
- 該問題的規模縮小到一定的程度就可以容易地解決
- 該問題可以分解爲若干規模較小的相同問題，即該問題具有最優子結構性質
- 利用該問題分解出的子問題的解可以合併爲該問題的解
- 該問題所分解出的各個子問題是相互獨立的，即子問題之間不包含公共的子子問題
第一條特徵是絕大多數問題都可以滿足的，因爲問題的計算複雜性一般是隨着問題規模的增加而增加；
第二條特徵是應用分治法的前提，它也是大多數問題可以滿足的，此特徵反映了遞歸思想的應用；
第三條特徵是關鍵，能否利用分治法完全取決於問題的是否具有第三條特徵，如果具備了第一條和第二條特徵，而不具備第三條特徵，則可以考慮用貪心法或動態規劃法。
第四條特徵涉及到分治法的效率，如果各子問題是不獨立的則分治法要做許多不必要的工作，重複地解決公共的子問題，此時雖然可用分治法，但一般用動態規劃較好。
四、分治法的基本步驟
分治法在每一層遞歸上都有三個步驟：
**step **1 分解：將原問題分解爲若干規模較小，相互獨立，與原問題形式相同的子問題；
**step **2 解決：若子問題規模較小而容易被解決則直接求解，否則遞歸地解各個子問題；
**step **3 合併：將各個子問題的解合併爲原問題的解。
五、可使用分治法求解的一些經典問題
- 二分搜索
- 大整數乘法
- Strassen 矩陣乘法
- 棋盤覆蓋
- 合併排序
- 快速排序
- 線性時間選擇
- 最接近點對問題
- 循環賽日程表
- 漢諾塔
六、依據分治法設計程序時的思維過程
實際上就是類似與數學歸納法，找到解決問題的求解方程式，然後根據方程式設計遞歸程序。
- 一定是先找到最小問題規模時的求解方法
- 然後考慮隨着問題規模增大時的解決方法
- 找到求解的遞歸函數式後，設計遞歸程序即可