一、基本概念
所謂貪心算法是指,在對問題求解時,總是做出在當前看來是最好的選擇。也就是說,不從整體最優上加以考慮,他所做出的僅是在某種意義上的局部最優解。
貪心算法沒有固定的算法框架,算法設計的關鍵是貪心策略的選擇。必須注意的是,貪心算法不是對所有問題都能得到整體最優解,選擇貪心策略必須具備無後效性,即某個狀態以後的過程中不會影響以前的狀態,只與當前狀態有關。
所以對所採用的貪心策略一定要仔細分析其是否滿足無後效性。
二、貪心算法的基本思路
- 建立數學模型來描述問題。
- 把求解的問題分成若干個子問題。
- 對每一子問題求解,得到子問題的局部最優解。
- 把子問題的解局部最優解合成原來問題的一個解。
三、貪心算法適用的問題
貪心策略適用的前提是:局部最優解策略能導致產生全局最優解。
實際上,貪心算法適用的情況很少。一般,對一個問題分析是否適用於貪心算法,可以先選擇該問題下的幾個實際數據進行分析,就可做出判斷。
四、貪心算法的實現框架
從問題的某一初始解出發;
while (能朝給定總目標前進一步)
{
利用可行的決策,求出可行解的一個解元素;
}
由所有解元素組合成問題的一個可行解;
五、貪心策略的選擇
因爲用貪心算法只能通過解局部最優解的策略來達到全局最優解,因此,一定要注意判斷問題是否適合採用貪心算法策略,找到的解是否一定是問題的最優解。
六、例題解析
下面是一個可以試用貪心算法解的題目,貪心解的確不錯,可惜不是最優解。
[揹包問題] 有一個揹包,揹包容量是 M = 150,有 7 個物品,物品可以分割成任意大小。
要求儘可能讓裝入揹包中的物品總價值最大,但不能超過總容量。
物品 A B C D E F G
重量 35 30 60 50 40 10 25
價值 10 40 30 50 35 40 30
分析:
目標函數:
約束條件是裝入的物品總重量不超過揹包容量:
- 根據貪心的策略,每次挑選價值最大的物品裝入揹包,得到的結果是否最優?
- 每次挑選所佔重量最小的物品裝入是否能得到最優解?
- 每次選取單位重量價值最大的物品,成爲解本題的策略。
值得注意的是,貪心算法並不是完全不可以使用,貪心策略一旦經過證明成立後,它就是一種高效的算法。
貪心算法還是很常見的算法之一,這是由於它簡單易行,構造貪心策略不是很困難。
可惜的是它需要證明後才能真正運用到題目的算法中。
一般來說,貪心算法的證明圍繞着:整個問題的最優解一定在貪心策略中存在的子問題的最優解得來的。
對於例題中的 3 中貪心策略,都是無法成立的( 無法被證明 )的,解釋如下:
貪心策略:選取價值最大者。 反例:
W = 30
物品: A B C
重量: 28 12 12
價值: 30 20 20根據策略,首先選取物品 A,接下來就無法再選取了,可是,選取 B、C 則更好。
貪心策略:選取重量最小。它的反例與第一種策略的反例差不多。
貪心策略:選取單位重量價值最大的物品。反例:
W = 30
物品:A B C
重量:28 20 10
價值:28 20 10根據策略,三種物品單位重量價值一樣,程序無法依據現有策略作出判斷,如果選擇 A,則答案錯誤。