最短路径问题--Floyd多源最短路径算法

Dijkstra和Bellman_Ford都是从一个起点出发，计算到各顶点的距离。不过有时候需要求对所有成对定点的最短距离。引入了Floyd算法。

Floyd算法考虑的是一条最短路径上的中间结点。假设图中有一个定点x，对于u到v的最短路径，该路径可能经过x，也可能不经过x。设所有结点集合为S
（1）、不经过x：那么该路径只会经过S-{x}中的结点。
（2）、经过x：此时，将路径分为（u，x）和（x，v）。且这两个路径也是最短路径。很显然这两个路径也不会经过x，故也只将S-{x}最为途径点。

将图中所有点S考虑在内，从u到v的最短路径肯定是上面两种情况中路径最小的一个。
故:dist(u,v,S) = min ( dist(u,v,S-{x}), dist(u,x,S-{x})+dist(x,v,S-{x}) )

对上式进行简单的修改，设S(k)={0,1,2，。。。，k},表示总的结点，dist(u,v,k)表示考虑第0第到k个结点的u到v最短路径。则上式可以写为：dist(u,v,k) = min ( dist(u,v,k-1), dist(u,k,k-1)+dist(k,v,k-1) ).（k表示第k个结点）
进一步简化：我们可知dist(u,k,k-1)是考虑起点到第k-1个顶点，计算u到k的最短路径，dist(u,k,k)是考虑起点到第k个顶点，计算u到k的最短路径。我们看到由于这两个路径中起点或终点有一个为k，在将k考虑为是否经过没有意义。因此式子可以写成：
dist(u,v) = min ( dist(u,v), dist(u,k)+dist(k,v) ).

通过递归调用即可求得最终的dist(u,v).且在计算过程中可以保存k值，即经过的点，用来还原最短路径。

C++代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>
#define INF 999999
using namespace std;

void floyd(int n, int adj[][7], int via[][7])
{
    for(int k=0; k<n; k++)
    {
        for(int i=0; i<n; i++)
        {
            for(int j=0; j<n; j++)
            {
                if(adj[i][j]>adj[i][k]+adj[k][j])
                {
                    via[i][j]=k;
                    adj[i][j]=adj[i][k]+adj[k][j];
                }
            }
        }
    }
}

//计算a到b的最短路径，保存在path中
void reconstruct(int a, int b, vector<int>& path, int via[][7])
{
    if(via[a][b]==-1)
    {
        path.push_back(a);
        if(a!=b)
            path.push_back(b);
    }
    else
    {
        int w=via[a][b];
        reconstruct(a,w,path,via);
        path.pop_back();
        reconstruct(w,b,path,via);
    }
}
int main()
{
    //v:结点个数，m:边数
    int v=7, m=9;
    //边之间的权值，没有边相连权值为无穷大
    int adj[7][7];
    //存储途经点
    int via[7][7];
    //初始化为无穷大
    memset(adj,INF,sizeof(adj));
    //初始化为-1
    memset(via,-1,sizeof(via));
    for(int i=0; i<v; i++)
    {
        //自身到自身的距离为0
        adj[i][i]=0;
    }
    for(int i=0; i<m; i++)
    {
        int a=0,b=0,c=0;
        cin>>a>>b>>c;
        adj[a-1][b-1]=c;
        adj[b-1][a-1]=c;
    }
    floyd(v, adj, via);
    vector<int> path;
    reconstruct(0, 5, path,via);
    for(vector<int>::iterator iter=path.begin(); iter!=path.end(); iter++)
    {
        cout<<(*iter)+1<<" ";
    }
    cout<<endl;
}