關於動態規劃中的最長子序列問題有很多優秀的解讀，在這裏推薦一位博主的關於最長子序列的文章，非常不錯，配有大量的圖片和文字解答，在這裏推薦給大家。本文章轉載自這裏
1.基本概念
首先需要科普一下，最長公共子序列（longest common sequence）和最長公共子串（longest common substring）不是一回事兒。什麼是子序列呢？即一個給定的序列的子序列，就是將給定序列中零個或多個元素去掉之後得到的結果。什麼是子串呢？給定串中任意個連續的字符組成的子序列稱爲該串的子串。給一個圖再解釋一下：
如上圖，給定的字符序列： {a,b,c,d,e,f,g,h}，它的子序列示例： {a,c,e,f} 即元素b,d,g,h被去掉後，保持原有的元素序列所得到的結果就是子序列。同理，{a,h},{c,d,e}等都是它的子序列。
它的字串示例：{c,d,e,f} 即連續元素c,d,e,f組成的串是給定序列的字串。同理，{a,b,c,d},{g,h}等都是它的字串。
這個問題說明白後，最長公共子序列（以下都簡稱LCS）就很好理解了。
給定序列s1={1,3,4,5,6,7,7,8},s2={3,5,7,4,8,6,7,8,2}，s1和s2的相同子序列，且該子序列的長度最長，即是LCS。
s1和s2的其中一個最長公共子序列是 {3,4,6,7,8}
2.特徵分析
解決LCS問題，需要把原問題分解成若干個子問題，所以需要刻畫LCS的特徵。
以例子（S1={1,3,4,5,6,7,7,8}和S2={3,5,7,4,8,6,7,8,2}），並結合上圖來說：
假如S1的最後一個元素 與 S2的最後一個元素相等，那麼S1和S2的LCS就等於 {S1減去最後一個元素} 與 {S2減去最後一個元素} 的 LCS 再加上 S1和S2相等的最後一個元素。
假如S1的最後一個元素 與 S2的最後一個元素不等（本例子就是屬於這種情況），那麼S1和S2的LCS就等於 ： {S1減去最後一個元素} 與 S2 的LCS， {S2減去最後一個元素} 與 S1 的LCS 中的最大的那個序列。
這就是所謂的用動態規劃解決最長子序列的狀態轉移方程的由來，很多文章並沒有解釋，使得很多同學不清不楚。
我們假設dp[i][j]表示序列a中從0到i，以及序列b中從0到j這兩段序列的最長子序列。於是根據上面分析：
if(a[i]==b[j]){
dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;
}else
dp[i][j] = max(dp[i][j-1],dp[i-1][j]);
計算LCS的長度
還是以s1={1,3,4,5,6,7,7,8},s2={3,5,7,4,8,6,7,8,2}爲例。
結果
至此，該表填完。根據性質，c[8,9] = S1 和 S2 的 LCS的長度，即爲5。
輸出最長子序列內容
上面我們只是得到了最長子序列的長度，如果要得到具體的內容，我們可以逆推回去。
我們根據遞歸公式構建了上表，我們將從最後一個元素c[8][9]倒推出S1和S2的LCS。
c[8][9] = 5，且S1[8] != S2[9]，所以倒推回去，c[8][9]的值來源於c[8][8]的值(因爲c[8][8] > c[7][9])。
c[8][8] = 5, 且S1[8] = S2[8], 所以倒推回去，c[8][8]的值來源於 c[7][7]。
以此類推，如果遇到S1[i] != S2[j] ，且c[i-1][j] = c[i][j-1] 這種存在分支的情況，這裏請都選擇一個方向（之後遇到這樣的情況，也選擇相同的方向）。
第一種結果爲：
這就是倒推回去的路徑，棕色方格爲相等元素，即LCS = {3,4,6,7,8}，這是其中一個結果。
即LCS ={3,5,7,7,8}。