HDU 3506 Monkey Party 【DP+四邊形不等式優化】

【題目地址】

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3506

【題目大意】

香蕉森林裏一羣猴子（n<=1000)圍成一圈開會，會長給他們互相介紹，每個猴子需要時間a[i]。每次只能介紹相鄰的兩隻猴子x和y認識，同時x所有認識的猴子和y所有認識的猴子也就相互認識了，代價爲這兩夥猴子認識的時間（a[]）之和。

求這羣猴子都互相認識的最短時間。

PS：My English is very poor, so you may not understand what I had said。It does not matter,  just regarding it as a problem of stone merging(石子歸併).

【解題思路】

令f[i,j]表示歸併第i個數到第j數的最小代價,sum[i,j]表示第i個數到第j個數的和，這個可以事先計算出來。sum[i,j]可以在O(1)的時間內算出.
容易的到以下的動態轉移方程：

階段：以歸併石子的長度爲階段，一共有n-1個階段。
狀態：每個階段有多少堆石子要歸併，當歸並長度爲2時，有n-1個狀態；
當歸並長度爲3時，有n-2個狀態；
當歸並長度爲n時，有1個狀態。
決策：當歸並長度爲2時，有1個決策；當歸並長度爲3時，有2個決策；
當歸並長度爲n時，有n-1個決策。

歸併長度len，起點i和決策點k三層循環，複雜度O(n^3)，n<=1000肯定TLE。

 

四邊形不等式優化DP：

優化k!!!    （k是i···j的分割點）

原來我是從i···j-1枚舉k, 取f(i,j)=min{f[i,k]+f[k+1,j]}+sum(i,j);

而實際上我只需要從s[i,j-1]到s[i+1,j]枚舉k就可以了。其中s[i,j]指f[i...j]取最優解的分割點，這樣複雜度就變成O(n^2).

PS:四邊形不等式優化DP，讀者可以閱讀：華中師大一附中  趙爽《動態規劃加速原理之四邊形不等式》。

 

環形石子歸併：

本題目屬於環形石子歸併類型，可以令n乘以2模擬環；亦可以取模運算。最後枚舉判斷環的起點（終點=起點+n-1），得到最小代價。

【代碼】

隱藏行號 複製代碼 ？ C/C++

1. #include <cstdio>
   

2. #define inf 0xfffffff
   

3. #define maxn 2005
   

4. typedef int Arr[maxn][maxn];
   

5. int a[maxn],n,ans;
   

6. Arr sum,f,S;
   

7. int main()
   

8. {
   

9.     int i,j,k,t;
   

10.     while(~scanf("%d", &n)) {
    

11.         for(i=1;i<=n;i++){
    

12.             scanf("%d",&a[i]);
    

13.             sum[i][i]=sum[i+n][i+n]=a[i+n]=a[i];
    

14.             f[i][i]=f[i+n][i+n]=0;
    

15.         }
    

16.         for(i=1;i<=2*n;i++){
    

17.             S[i][i]=i;
    

18.             for(j=i+1;j<=i+n&&j<=2*n;j++)
    

19.                 sum[i][j]=sum[i][j-1]+a[j];
    

20.         }
    

21.         for(k=2;k<=n;k++){
    

22.             for(i=1;i<=2*n-k+1;++i){
    

23.                 j=i+k-1;
    

24.                 f[i][j]=inf;
    

25.                 for(t=S[i+1][j];t>=S[i][j-1];--t){
    

26.                         if(f[i][j]>sum[i][j]+f[i][t]+f[t+1][j]){
    

27.                             f[i][j]=sum[i][j]+f[i][t]+f[t+1][j];
    

28.                             S[i][j]=t;
    

29.                     }
    

30.                 }
    

31.             }
    

32.         }
    

33.         ans=inf;
    

34.         for(i=1;i<=n;i++)
    

35.             if(f[i][i+n-1]<ans)
    

36.                 ans=f[i][i+n-1];
    

37.         printf("%d/n",ans);
    

38.     }
    

39.     return 0;
    

40. }