PKU 3370 Halloween treats 【鴿籠定理】

【題目地址】

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3370

【題目大意】

  萬聖節鄰居i會發給孩子們一定數量的糖果a[i],現在有c個孩子和n戶鄰居（1<=c<=n<=100000), 爲了不引起糾紛，孩子們決定選擇性的去某些鄰居家索要糖果，使得到的糖果總數可以均分給n個人(只要均分就行，不要求糖果數最多)。

【解題思路】

  基本原理：如果n+1個物體放進n個盒子，那麼至少有一個盒子包含兩個或者更多的物體。考慮一個問題：給出n個數，從中選出若干數使他們的和爲n的倍數。

結論：存在若干連續數，它們的和是n的倍數。

證明：設S(k)=a(1)+a(2)+···+a(k).如果存在一個S(k)是n的倍數，那麼把前k個數選出來就可以了。否則所有n個S(k)(n個物體)除以n的餘數只有1,2,3，···，n-1中可能(n-1個盒子)，但現在有n個S(k)(n個物體)，由基本原理知，必然有兩個不同的和S(i)和S(j)(i<j)除以n的餘數相同，故部分和S(j)-S(i)=a(i+1)+···+a(j)是n的倍數。

本題暴力肯定TLE，考慮鴿籠定理：從n個數中取出若干，和爲c(c<=n)的倍數。

看另外一個例子：

一個屋子裏面有n個人，他們的最大年齡不超過k歲，問是否肯定存在2組人（兩組沒有重複的人），使得這兩組人的年齡和相等。

先看一個簡單的：有5個小朋友，年齡（整數）都在1—4歲之間，那麼至少有兩個人的年齡相同（不要懷疑）；

那麼本例中，n個人的組合，一共有2^n（2^n個小朋友）種方法，注意到最大情況n的人的年齡和是n* k（小朋友的年齡在1—n*k之間），這樣如果2^n>n*k，根據鴿籠原理，一定存在兩種組合，他們的年齡和相等，而且沒有重複的人（如果重複，把那個人刪去就行了）。所以  O(1)的時間就判斷出了結果。

此例只是俺的想法，如果有更好的證明方法，歡迎提出。。囧!ACM_DIY羣裏有大牛證明了，看不懂。。

回到POJ 3370 Halloween treats，看代碼(求前S(k)的話int可能溢出，每次取模即可)：

【代碼】

隱藏行號 複製代碼 ？ C/C++

1. #include <cstdio>
   

2. #include <cstring>
   

3. #define maxn 1000005
   

4. int m[maxn],mod[maxn];
   

5. int main()
   

6. {
   

7.     int c,n,i,sum,len,pos;
   

8.     while(scanf("%d%d",&c,&n)&&c+n){
   

9.         memset(mod,-1,sizeof(mod));
   

10.         for(i=sum=len=0;i<n;i++){
    

11.             scanf("%d",&m[i]);
    

12.             if(len)continue;
    

13.             sum=(sum+m[i])%c;
    

14.             if(sum==0){
    

15.                 pos=0;len=i+1;
    

16.             }
    

17.             else if(mod[sum]>=0){
    

18.                 pos=mod[sum]+1;
    

19.                 len=i-mod[sum];
    

20.             }
    

21.             else
    

22.                 mod[sum]=i;
    

23.         }
    

24.         printf("%d",pos+1);
    

25.         for(i=pos+1;i<len+pos;i++)
    

26.              printf(" %d",i+1);
    

27.         printf("/n");
    

28.     }
    

29.     return 0;
    

30. }