PKU 3370 Halloween treats 【鸽笼定理】

【题目地址】

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3370

【题目大意】

  万圣节邻居i会发给孩子们一定数量的糖果a[i],现在有c个孩子和n户邻居（1<=c<=n<=100000), 为了不引起纠纷，孩子们决定选择性的去某些邻居家索要糖果，使得到的糖果总数可以均分给n个人(只要均分就行，不要求糖果数最多)。

【解题思路】

  基本原理：如果n+1个物体放进n个盒子，那么至少有一个盒子包含两个或者更多的物体。考虑一个问题：给出n个数，从中选出若干数使他们的和为n的倍数。

结论：存在若干连续数，它们的和是n的倍数。

证明：设S(k)=a(1)+a(2)+···+a(k).如果存在一个S(k)是n的倍数，那么把前k个数选出来就可以了。否则所有n个S(k)(n个物体)除以n的余数只有1,2,3，···，n-1中可能(n-1个盒子)，但现在有n个S(k)(n个物体)，由基本原理知，必然有两个不同的和S(i)和S(j)(i<j)除以n的余数相同，故部分和S(j)-S(i)=a(i+1)+···+a(j)是n的倍数。

本题暴力肯定TLE，考虑鸽笼定理：从n个数中取出若干，和为c(c<=n)的倍数。

看另外一个例子：

一个屋子里面有n个人，他们的最大年龄不超过k岁，问是否肯定存在2组人（两组没有重复的人），使得这两组人的年龄和相等。

先看一个简单的：有5个小朋友，年龄（整数）都在1—4岁之间，那么至少有两个人的年龄相同（不要怀疑）；

那么本例中，n个人的组合，一共有2^n（2^n个小朋友）种方法，注意到最大情况n的人的年龄和是n* k（小朋友的年龄在1—n*k之间），这样如果2^n>n*k，根据鸽笼原理，一定存在两种组合，他们的年龄和相等，而且没有重复的人（如果重复，把那个人删去就行了）。所以  O(1)的时间就判断出了结果。

此例只是俺的想法，如果有更好的证明方法，欢迎提出。。囧!ACM_DIY群里有大牛证明了，看不懂。。

回到POJ 3370 Halloween treats，看代码(求前S(k)的话int可能溢出，每次取模即可)：

【代码】

隐藏行号 复制代码 ？ C/C++

1. #include <cstdio>
   

2. #include <cstring>
   

3. #define maxn 1000005
   

4. int m[maxn],mod[maxn];
   

5. int main()
   

6. {
   

7.     int c,n,i,sum,len,pos;
   

8.     while(scanf("%d%d",&c,&n)&&c+n){
   

9.         memset(mod,-1,sizeof(mod));
   

10.         for(i=sum=len=0;i<n;i++){
    

11.             scanf("%d",&m[i]);
    

12.             if(len)continue;
    

13.             sum=(sum+m[i])%c;
    

14.             if(sum==0){
    

15.                 pos=0;len=i+1;
    

16.             }
    

17.             else if(mod[sum]>=0){
    

18.                 pos=mod[sum]+1;
    

19.                 len=i-mod[sum];
    

20.             }
    

21.             else
    

22.                 mod[sum]=i;
    

23.         }
    

24.         printf("%d",pos+1);
    

25.         for(i=pos+1;i<len+pos;i++)
    

26.              printf(" %d",i+1);
    

27.         printf("/n");
    

28.     }
    

29.     return 0;
    

30. }