Container With Most Water

一. Container With Most Water

Given n non-negative integers a1 , a2 , …, an , where each represents a point at coordinate (i, ai ). n vertical lines are drawn such that the two endpoints of line i is at (i, ai ) and (i, 0). Find two lines, which together with x-axis forms a container, such that the container contains the most water.

Note: You may not slant the container and n is at least 2.

Difficulty:Medium

TIME：30MIN

解法

这道题挺有意思的，题目的意思是x轴上有很多垂直的线段，问哪两个线段和x轴可以形成一个容器，这个容器可以装最多的水。也就是说虽然这个容器是一个梯形，但是如果水超过短的线段的话，水就会溢出来，因此说，这道题其实就是求短的线段和两条垂直线之间的距离的面积。

弄明白意思之后立马写了一个O(n2) 的算法，就是对任意的两个线段求一个面积，记录面积的最大值，结果果真超时了（超时的数据有15000个样例点）。

既然不能采用O(n2) 的算法，那么需要寻找一种更加有效的算法。这道题既然就是求短的线段和两条垂直线之间的距离的面积，那么这个面积和两样东西有关，一样是短的线段的长度，一样是垂直线之间的距离，如果垂直线之间的距离最长而且短的线段长度最大的话，那么面积当然是最大。

线段的长度是没有规律的，但是线段之间的距离却是有规律，相隔越远，距离越大，那么我们完全可以从两端开始来查找最大的面积。令i 指向数组首部，j 指向数组末尾：

• 当height[i]>=height[j] 的时候，面积就是(j−i)∗height[j] ，这个时候j 向前移动变成j−1
• 当height[i]<height[j] 的时候，面积就是(j−i)∗height[i] ，这个时候i 向前移动变成i+1

这样遍历一次就得到了最大的面积。

当height[i]>=height[j] 的时候，为什么就一定是移动j 而不是移动i呢。其实可以这样证明，如果移动i 变为i+1 ，这个时候分两种情况：

• height[i+1]>=height[j] ，这个时候面积就是(j−i−1)∗height[j] ，显然一定小于(j−i)∗height[j]
• height[i+1]<=height[j] ，这个时候面积就是(j−i−1)∗height[i+1] ，也显然一定小于(j−i)∗height[j]

所以不管怎样移动i 都不会得到比(j−i)∗height[j] 更优的结果，因此只能移动j ，当height[i]<height[j] 的时候也是类似的情况。因此这种方式一定能够保证得到最大的面积。

int maxArea(vector<int>& height) {
    int i = 0,j = height.size() - 1;
    int result = 0;
    while(i <= j) {
        if(height[i] >= height[j]) {
            result = max(result, (j - i) * height[j]);
            j--;
        }
        else {
            result = max(result, (j - i) * height[i]);
            i++;
        }
    }
    return result;
}

代码的时间复杂度为O(n) 。

总结

这道题和之前做过一道题Two Sum很类似，虽然都可以用O(n2) 的暴力解法，但都能找到一种O(n) 的巧妙解法。