堆排序及其分析

前言

記得在學習數據結構的時候一味的想用代碼實現算法，重視的是寫出來的代碼有一個正確的輸入，然後有一個正確的輸出，那麼就很滿足了。從網上看了許多的代碼，看了之後貌似懂了，自己寫完之後也正確了，但是不久之後就忘了，因爲大腦在回憶的時候，只依稀記得代碼中的部分，那麼的模糊，根本不能再次寫出正確的代碼，也許在第一次寫的時候是因爲參考了別人的代碼，看過之後大腦可以進行短暫的高清晰記憶，於是欺騙了我，以爲自己寫出來的，滿足了成就感。可是代碼是計算機識別的，而我們更喜歡文字，圖像。所以我們在學習算法的時候要注重算法的原理以及算法的分析，用文字，圖像表達出來，然後當需要用的時候再將文字轉換爲代碼。記憶分爲三個步驟：編碼，存儲和檢索，就以學習爲例，先理解知識，再歸納知識，最後鞏固知識，爲了以後的應用而方便檢索知識。

堆排序過程

堆分爲大根堆和小根堆，是完全二叉樹。大根堆的要求是每個節點的值都不大於其父節點的值，即A[PARENT[i]] >= A[i]。在數組的非降序排序中，需要使用的就是大根堆，因爲根據大根堆的要求可知，最大的值一定在堆頂。

既然是堆排序，自然需要先建立一個堆，而建堆的核心內容是調整堆，使二叉樹滿足堆的定義（每個節點的值都不大於其父節點的值）。調堆的過程應該從最後一個非葉子節點開始，假設有數組A = {1, 3, 4, 5, 7, 2, 6, 8, 0}。那麼調堆的過程如下圖，數組下標從0開始，A[3] = 5開始。分別與左孩子和右孩子比較大小，如果A[3]最大，則不用調整，否則和孩子中的值最大的一個交換位置，在圖1中是A[7] > A[3] > A[8]，所以A[3]與A[7]對換，從圖1.1轉到圖1.2。

所以建堆的過程就是

for ( i = heapLen/2; i >= 0; i++)
       do AdjustHeap(A, heapLen, i)

調堆：如果初始數組是非降序排序，那麼就不需要調堆，直接就滿足堆的定義，此爲最好情況，運行時間爲Θ(1)；如果初始數組是如圖1.5，只有A[0] = 1不滿足堆的定義，經過與子節點的比較調整到圖1.6，但是圖1.6仍然不滿足堆的定義，所以要遞歸調整，一直到滿足堆的定義或者到堆底爲止。如果遞歸調堆到堆底才結束，那麼是最壞情況，運行時間爲O(h) (h爲需要調整的節點的高度，堆底高度爲0，堆頂高度爲floor(logn) )。

建堆完成之後，堆如圖1.7是個大根堆。將A[0] = 8 與 A[heapLen-1]交換,然後heapLen減一，如圖2.1，然後AdjustHeap(A, heapLen-1, 0)，如圖2.2。如此交換堆的第一個元

素和堆的最後一個元素，然後堆的大小heapLen減一，對堆的大小爲heapLen的堆進行調堆，如此循環，直到heapLen == 1時停止，最後得出結果如圖3。

/*
    輸入：數組A，堆的長度hLen，以及需要調整的節點i
    功能：調堆
*/

void AdjustHeap(int A[], int hLen, int i)
{
    int left = LeftChild(i);  //節點i的左孩子
    int right = RightChild(i); //節點i的右孩子節點
    int largest = i;
    int temp;

    while(left < hLen || right < hLen)
    {
        if (left < hLen && A[largest] < A[left])
        {
            largest = left;
        }

        if (right < hLen && A[largest] < A[right])
        {
            largest = right;
        }

        if (i != largest)   //如果最大值不是父節點
        {
             temp = A[largest]; //交換父節點和和擁有最大值的子節點交換
             A[largest] = A[i];
             A[i] = temp;

            i = largest;         //新的父節點，以備迭代調堆
            left = LeftChild(i);  //新的子節點
            right = RightChild(i);
        }
        else
        {
            break;
        }
    }
}

/*
    輸入：數組A，堆的大小hLen
    功能：建堆
*/
void BuildHeap(int A[], int hLen)
{
    int i;
    int begin = hLen/2 - 1;  //最後一個非葉子節點
    for (i = begin; i >= 0; i--)
    {
        AdjustHeap(A, hLen, i);
    }
}

/*
    輸入：數組A，待排序數組的大小aLen
    功能：堆排序
*/
void HeapSort(int A[], int aLen)
{
    int hLen = aLen;
    int temp;

    BuildHeap(A, hLen);      //建堆

    while (hLen > 1)
    {
        temp = A[hLen-1];    //交換堆的第一個元素和堆的最後一個元素
        A[hLen-1] = A[0];
        A[0] = temp;
        hLen--;        //堆的大小減一
        AdjustHeap(A, hLen, 0);  //調堆
    }
}

性能分析

• • 調堆：上面已經分析了，調堆的運行時間爲O(h)。
  • 建堆：每一層最多的節點個數爲n1 = ceil(n/(2^(h+1))),

因此，建堆的運行時間是O(n)。

• • 循環調堆（代碼67-74），因爲需要調堆的是堆頂元素，所以運行時間是O(h) = O(floor(logn))。所以循環調堆的運行時間爲O(nlogn)。

總運行時間T(n) = O(nlogn) + O(n) = O(nlogn)。對於堆排序的最好情況與最壞情況的運行時間，因爲最壞與最好的輸入都只是影響建堆的運行時間O(1)或者O(n)，而在總體時間中佔重要比例的是循環調堆的過程，即O(nlogn) + O(1) =O(nlogn) + O(n) = O(nlogn)。因此最好或者最壞情況下，堆排序的運行時間都是O(nlogn)。而且堆排序還是原地算法（in-place algorithm）。