在圖的應用中，有一個很重要的需求：我們需要知道從某一個點開始，到其他所有點的最短路徑。
這其中，Dijkstra算法是典型的最短路徑算法。它的關鍵思想是以起始點爲中心，向外一層層擴散，直到擴展到終點爲止。Dijkstra算法能夠得出最短路徑的最優解，不過它需要遍歷計算的節點相當多，所以效率不高。
首先，用最通俗的語言解釋。假定有3個頂點，A、B、C，如圖：
要求A到其餘各點的最短路徑。很明顯，A到C比A到B更短。有疑惑的是從A->B的最短距離，要麼是直接A->B的邊，要麼是A經過C到B的邊更短。我們首先找到最短的邊（A->C),然後在此基礎上擴展，於其餘邊去對比找到最小值。頂點再進一步擴充增加，按照這個思想，我們總可以找到A到所有點的最短路徑。
算法描述：
從節點1開始到其餘各點的dijkstra算法，其中Wa->b表示邊a->b的權，d(i)即爲最短路徑值，頂點集合爲V={1,2,3...n}
1.置集合S={1}，置頂點集合U={2,3,4...n}，數組d(1)=0,d(i)=W1->i（1，i之間存在邊）or 無窮大（1，i之間不存在邊）；
2.在U中，令d(j)=min{d(i),i屬於U}，將j從U中移至S中，若U爲空集則算法結束，否則轉3；
3.對全部i屬於U，如果存在邊j->i,那麼置d(i)=min{d(i), d(j) + Wj->i},轉2
Dijkstra算法的思想爲;設G=(V, E)是一個帶權有向圖，把圖中頂點集合V分爲兩部分，第一組爲已求出最短路徑的頂點集合（用S表示，初始時S中只有源點，以後每求出一條最短路徑，就將頂點加入到S中，直到所有頂點都加入到S中，算法結束），第二組爲其餘未求出最短路徑的頂點集合（用U表示），按最短路徑的長度次序依次將第二組中的頂點加入到第一組中。
在加入過程中，總保持着從源點v到S中各頂點的最短路徑不大於從源點v到U中各頂點的最短路徑長度。此外，每個頂點對應一個距離，S中的頂點的距離即爲源點v到該點的最短路徑長度。U中頂點的距離，是從v到此頂點只包括S中的頂點爲中間頂點的當前最短距離。
算法具體步驟
1.初始時，S中只有源點，即S = {v}，v的距離爲0（到自己的距離爲0）。U包含除v外地所有其他頂點，U中頂點u距離爲邊上的權（若v到u存在邊）或 ∞ （v到u不存在邊，即u不是v的出邊鄰接點）
2.從U中選取一個距離v最小的頂點k加入到S中（選定的距離就是v到k的最短路徑）
3.以k爲新考慮的中間點，修改U中各頂點的距離。若從源點v經過頂點k到頂點u的距離比原來距離（不經過頂點k）段，則修改頂點u的距離，修改後的距離值爲頂點k的距離加上邊k->u的權
4.重複步驟2、3直到所有的頂點都加入到S中
複雜度分析：
實現方式的不同，可能有n次或者n-1次外層的循環，這裏取n次。
步驟2每一輪的比較步驟會是n，n-1，n-2...1
步驟3每一輪的更新步驟會是n-1，n-2...1
這樣計算出結果大致爲 n²
Dijkstra算法的時間複雜度爲O(n^2)
空間複雜度取決於存儲方式，鄰接矩陣爲O(n^2)
再看一個例子：
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步驟 |
S集合中 |
U集合中 |
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1 |
選入A，此時S ={A} 此時最短路徑A->A = 0 以A爲中間點，從A開始找 |
U = {B, C, D, E, F} A->B = 6 A->C = 3 A->U中其他頂點 = ∞ 其中A->C = 3 權值爲最小，路徑最短 |
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2 |
選入上一輪中找到的最短路徑的頂點C，此時S = {A, C} 此時最短路徑A->A = 0，A->C = 3 以C爲中間點，從A->C=3這條最短路徑開始新一輪查找 |
U = {B, D, E, F} A->C->B = 5(比上面的A->B = 6要小) 替換B的權值爲更小的A->C->B = 5 A->C->D = 6 A->C->E = 7 A->C->U中其他頂點 = ∞ 其中A->C->B = 5 最短 |
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3 |
選入B,此時S = {A, C, B} 此時最短路徑 A->A = 0，A->C = 3 A->C->B = 5 以B爲中間點，從A->C->B = 5這條最短路徑開始新一輪查找 |
U = {D, E, F} A->C->B->D = 10(比上面的A->C->D = 6大，不替換，保持D的權值爲A->C->D=6) A->C->B->U中其他頂點 = ∞ 其中 A->C->D = 6 最短 |
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4 |
選入D,此時 S = {A, C, B, D} 此時最短路徑 A->A = 0，A->C = 3，A->C->B = 5，A->C->D = 6 以D爲中間點，從A->C->D = 6這條最短路徑開始新一輪查找 |
U = {E, F} A->C->D->E = 8(比上面步驟2中的A->C->E = 7要長，保持E的權值爲A->C->E =7) A->C->D->F = 9 其中A->C->E = 7最短 |
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5 |
選入E,此時 S = {A, C, B, D ,E} 此時最短路徑 A->A = 0，A->C = 3，A->C->B = 5，A->C->D = 6，A->C->E =7, 以E爲中間點，從A->C->E = 7這條最短路徑開始新一輪查找 |
U = {F} A->C->E->F = 12(比第4步中的A->C->D->F = 9要長，保持F的權值爲A->C->D->F = 9) 其中A->C->D->F =9最短 |
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6 |
選入F,此時 S = {A, C, B, D ,E, F} 此時最短路徑 A->A = 0，A->C = 3，A->C->B = 5，A->C->D = 6，A->C->E =7,A->C->D->F = 9 |
U集合已空，查找完畢 |
算法實現：
僞代碼
Dijkstra算法解決了有向圖G=(V, E)上帶全的單源最短路徑問題，但要求所有的邊權非負）。因此，假定每條邊(u，v)∈E，有w(u，v)≥0。
Dijksra算法中設置了一個頂點集合S,從源點s到集合中的頂點的最終最短路徑的權值均已確定。算法反覆選擇具有最短路徑估計的頂點u∈V-S，並將u加入到S中，對u的所有出邊進行鬆弛。在下面的算法實現中，用到了頂點的最小優先隊列Q，排序關鍵字爲頂點的d值。
DIJSTRA(G，w，s)
1 INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G，s)
2 S ← Φ
3 Q ← V[G]
4 while Q≠Φ
5 do u EXTRACT-MIN(Q)
6 S ← S∪{u}
7 for each vertex v∈Adj[u]
8 do RELAX(u，v，w)
C++代碼實現
這是前面代碼中複製過來的，仍然是用模板跟容器實現的，可以做些修改使用數組或其他數據結構及實現方式。
template<typename vertexNameType, typename weight>
int OLGraph<vertexNameType, weight>::Dijkstra(IN const vertexNameType vertexName1)
{
int sourceIndex = getVertexIndex(vertexName1); //獲取源點在容器中索引值
if (-1 == sourceIndex)
{
cerr << "There is no vertex " << endl;
return false;
}
int nVertexNo = getVertexNumber(); //獲取頂點數
vector<bool> vecIncludeArray; //頂點是否已求出最短路徑
vecIncludeArray.assign(nVertexNo, false); //初始化容器
vecIncludeArray[sourceIndex] = true;
vector<weight> vecDistanceArray; //路徑值容器
vecDistanceArray.assign(nVertexNo, weight(INT_MAX)); //將所有頂點到源點的初始路徑值爲正無窮
vecDistanceArray[sourceIndex] = weight(0); //源點到自己距離置0
vector<int> vecPrevVertex; //路徑中，入邊弧尾頂點編號（即指向自己那個頂點的編號）
vecPrevVertex.assign(nVertexNo, sourceIndex); //指向所有頂點的弧尾都初始爲源點，源點指向所有頂點
getVertexEdgeWeight(sourceIndex, vecDistanceArray); //得到源點到其餘每個頂點的距離
int vFrom, vTo;
while(1)
{
weight minWeight = weight(INT_MAX);
vFrom = sourceIndex;
vTo = -1;
for (int i = 0; i < nVertexNo; i++) //找出還沒求出最短距離的頂點中，距離最小的一個
{
if (!vecIncludeArray[i] && minWeight > vecDistanceArray[i])
{
minWeight = vecDistanceArray[i];
vFrom = i;
}
}
if (weight(INT_MAX) == minWeight) //若所有頂點都已求出最短路徑，跳出循環
{
break;
}
vecIncludeArray[vFrom] = true; //將找出的頂點加入到已求出最短路徑的頂點集合中
//更新當前最短路徑，只需要更新vFrom頂點的鄰接表即可，因爲所有vFrom指向的邊都在鄰接表中
Edge<weight> *p = m_vertexArray[vFrom].firstout;
while (NULL != p)
{
weight wFT = p->edgeWeight;
vTo = p->headvex;
if (!vecIncludeArray[vTo] && vecDistanceArray[vTo] > wFT + vecDistanceArray[vFrom]) //當前頂點還未求出最短路徑，並且經由新中間點得路徑更短
{
vecDistanceArray[vTo] = wFT + vecDistanceArray[vFrom];
vecPrevVertex[vTo] = vFrom;
}
p = p->tlink;
}
}
for (int i = 0; i < nVertexNo; i++) //輸出最短路徑
{
if (weight(INT_MAX) != vecDistanceArray[i])
{
cout << getData(sourceIndex) << "->" << getData(i) << ": ";
DijkstraPrint(i, sourceIndex, vecPrevVertex);
cout << " " << vecDistanceArray[i];
cout << endl;
}
}
return 0;
}
template<typename vertexNameType, typename weight>
void OLGraph<vertexNameType, weight>::DijkstraPrint(IN int index, IN int sourceIndex, IN vector<int> vecPreVertex)
{
if (sourceIndex != index)
{
DijkstraPrint(vecPreVertex[index], sourceIndex, vecPreVertex);
}
cout << getData(index) << " ";
}