鑰匙計數之一

鑰匙計數之一

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Problem Description

一把鎖匙有N個槽，槽深爲1，2，3，4。每鎖匙至少有3個不同的深度且至少有1對相連的槽其深度之差爲3。求這樣的鎖匙的總數。

Input

本題無輸入

Output

對N>=2且N<=31，輸出滿足要求的鎖匙的總數。

Sample Output

N=2: 0
N=3: 8
N=4: 64
N=5: 360
..
..
..
..
..
..
..

N=31: ...

注：根據Pku Judge Online 1351 Number of Locks或 Xi'an 2002 改編,在那裏N<=16

Author

ecjtu_zhousc

 

分析

a[i]表示長度爲i的合法的鑰匙總數。
b[i]表示第i個槽爲1或4時合法的長度爲i的合法的鑰匙總數。
c[i]表示:不合法的長度爲i-1的鑰匙X + 最後一個新槽1/4（1或者4的槽）,能夠構成合法的長度爲i的鑰匙時，不合法的長度爲i-1的鑰匙X的方案數

1、合法的長度爲i-1的鑰匙 + 任何1個新的槽，所構成的長度爲i的鑰匙一定是合法的，所以a[i]=a[i-1]*4
。
2、若不合法的長度爲i-1的鑰匙X + 最後一個新槽2/3（2或者3的槽），要構成合法的長度爲i的鑰匙，則X必定由1/4（1或者4的槽）的組合構成序列（原因在於後綴2或者3加上就成爲鑰匙的話，必然是沒滿足需要3個不同深度槽這一項，故X必然由1/4組成），但需要去除2種情況111....1111(全爲1),444....444（全爲4），所以
a[I]+=(2^(I-1)-2)*2（爲什麼是它，因爲前i-1個槽均可以是1或4，有這麼多種組合方式，減去上述兩種特殊情況，即這兩種特殊情況下，最後一個新槽爲2/3時仍不能構成合法的長度爲i的鑰匙。之所以乘2，是因爲最後一個新槽可以是2，也可以是3）。

3、若不合法的長度爲i-1的鑰匙X + 最後一個新槽1/4（1或者4的槽）,要構成合法的長度爲i的鑰匙,設：x=Y(1/4) 即 長度爲i-1的鑰匙x=長度爲i-2的鑰匙y+第i-1個槽爲1/4(1或者4的槽)
則要在不合法的長度爲i-1的鑰匙X加上最後1個新槽1/4（1或者4的槽）成爲一個合法的長度爲i的鑰匙，
當且僅當第i-1位的槽是4/1時，加上第i位的1/4槽，才能滿足。
（因爲不合法的長度爲i-1的鑰匙X ，要麼就不滿足具有3個不同的槽，或不滿足至少有1對相連的槽其深度之差爲3，或同時不滿足。要在加上最後1個新槽1/4（1或者4的槽）後成爲長度爲i的合法的鑰匙，只可能是
A、前i-2位是1,2,3,4四種槽的任意組合+第i-1位的4+第i位的1
B、前i-2位是1,2,3,4四種槽的任意組合+第i-1位的1+第i位的4
C、在前兩種組合中去掉下面兩種情況--無法構成合法的長度爲i的鑰匙：
   前i-2位是1,4兩種槽的任意組合+第i-1位的4+第i位的1
   前i-2位是1,4兩種槽的任意組合+第i-1位的1+第i位的4
D、在前兩種組合中去掉下面這種情況:
   因爲在A情況下，“前i-2位是1,2,3,4四種槽的任意組合+第i-1位的4”包含了長度爲i-1的，第i-1位爲4的合法的長度爲i-1的鑰匙X
   在B的情況下“前i-2位是1,2,3,4四種槽的任意組合+第i-1位的1”包含了長度爲i-1的，第i-1位爲1的合法的長度爲i-1的鑰匙X
   但第3類的前提是“不合法的長度爲i-1的鑰匙X”，兩者矛盾。因此，要減去第i-1個槽爲1或4時合法的長度爲i-1的合法的鑰匙總數 即b[i-1]
 ）
故第3類中，c[i]==(4^(i-2)-2^(i-2))* 2 - b[i-1];
  所以a[i]+=c[i]

4、修正b[i]
   b[i]表示第i個槽爲1或4時合法的長度爲i的合法的鑰匙總數。
   在求得a[i-1]後可知長度爲i-1的合法的鑰匙總數。每種方案中增加第i位的1/4槽（1或者4的槽），總是b[i]中數據的一部分。即2*a[i-1]
   在求得c[i]後可知長度爲i-1的不合法的鑰匙 + 第i位的1/4槽（1或者4的槽）所能構成的合法的長度爲i的第i位爲1/4槽的鑰匙總數，也是b[i]中數據的一部分。即c[i]
   故b[i]=2*a[i-1]+c[i]

 

 

 

 

 

 

#include<stdio.h>

#include<math.h>

int main ()

{

    int        i;

    __int64 c[32], a[32], b[32];    //b[i]記錄以1 4結尾的數

    a[2] = 0;

    a[3] = 8;

    b[2] = 0;

    b[3] = 4;

    printf ("N=2: 0\nN=3: 8\n");

    for (i = 4; i <= 31; i++)

    {

        a[i] = a[i - 1] * 4;

        a[i] += (__int64) pow (2,i) - 4;    //以2 3 結尾的

        c[i] = ((__int64) pow (4,i-2) - (__int64) pow (2, i - 2)) * 2 - b[i - 1];

        a[i] += c[i];

        b[i] = a[i - 1] * 2 + c[i];

        printf ("N=%d: %I64d\n", i, a[i]);

    }

    return 0;

}