hihocoder 20 展勝地的鯉魚旗

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描述

巖手縣北上市的「北上市立公園展勝地」，是陸奧國三大櫻花名所之一。每年的四月中旬到五月初，這裏都會舉辦盛大的祭奠。除了可以在盛開的櫻花步道上乘坐觀光馬車徐行、還有橫跨北上川上的鯉魚旗，河畔還有當地特有的爲祭奠祖先而編創的北上鬼劍舞。

假設，我們用一個包含 '(', ')'的括號字符串來區別每面鯉魚旗的方向。一段括號序列被稱爲合法的，當且僅當滿足兩個條件：一、對於整個序列，左括號數量等於右括號；二、對於任意前綴，左括號的數目都不小於右括號的數目。島娘想知道，對於一串括號字符串，有多少子串是合法的，你能幫助她麼。

輸入

輸入數據僅一行，包含一個長度爲 n (1 ≤ n ≤ 10⁶) 的括號字符串。

輸出

輸出一行，表示合法的括號子串的數目。

樣例輸入

(()())

樣例輸出

4

題解：

本題 O(n) 的做法很多。

做法一：

考慮平衡的子串一定是 (...)(...)(...) 結構的，一種方法時，從左向右掃一遍， 對於每個左括號 i，嘗試匹配一個右括號 pi，（如果沒有匹配設 pi 爲 -1） 初始每個左括號設爲沒有被標記，順序枚舉沒被標記的有匹配的左括號 i，標記它，然後看 pi+1 位置是不是有匹配的左括號，如果是，標記它，然後重複上述操作，這樣得到一系列合法的括號，它們互不相交，但是相連，比如說有k個，那麼對應着k*(k+1)/2個平衡的子串。 因爲每個括號只會被標記一次，因此複雜度爲 O(n)。

方法二，考慮動態規劃 F[i] 代表以第 i 個字符爲結尾的平衡串個數， 預處理出每個與右括號匹配的左括號 j，如果存在的話， 那麼 f[i]=f[j]+1; 複雜度也是 O(n)。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int maxn=1000006;
char s[maxn];
int st[maxn],dp[maxn];

int main()
{
    int top=-1;
    long long sum=0;
    scanf("%s",s);
    int len=strlen(s);
    for (int i=0;i<len;i++)
    {
        if (s[i] == '('){
            st[++top]=i;
        }else{
            if (top != -1)
            {
                int pre=st[top];
                dp[i]=1;
                if (pre != 0)
                    dp[i]+=dp[pre-1];
                top--;
            }
        }
        sum+=dp[i];
    }
    printf("%lld",sum);
    return 0;
}