Fibonacci Game
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
題目描述：有一堆石子一共n個，兩人輪流取。（1）先手不能第一次把石子取完（2）之後的人取石子數量都要介於1~前面那個人取石子的兩倍。問先手贏還是後手贏。
證明必敗狀態：
i=2，先手只能取1顆，先手的必敗態。（i代表第i個Fibonacci數，f[i]代表第i個Fibonacci數的值，k也是同理）
假設i<=k成立，則i=k+1時，f[i]=f[k-1]+f[k]，如13=5+8；
（1）如果先手取的值大於等於f[k-1]，後手可以一次性將f[k]取完。因爲2*f[k-1]>f[k]，如10>8;
（2）如果先手取少於f[k-1]，由假設可預測後手總能取最後一顆。證明如下：如果先手取y，後手取x。設y>=f[k-1]/3，對於k-1這小堆，現在剩下的數量小於等於2*y，後手可以一次將所剩的取完。x=f[k-1]-y，x<=f[k-1]*2/3。那麼f[k-1]*2/3和f[k]/2的值誰大呢?也就是4*f[k-1]和3*f[k]的值哪個大？由例子可得20<24（其實可以用數學證明，水平有限，特殊值來驗證）也就是x<f[k]/2，後手取完第k-1堆後，先手不能取完f[k]，由假設可得，對於第k堆，後手仍能取完最後一顆，後手必勝。
證畢，即對於任意的Fibonacci數，都是一個P態，即先手必敗。
證明必勝態：
如果n=85，即不是Fibonacci數，85=55+21+8+1。由Zeckendorf（齊肯多夫）定理知：任何非Fibonacci數總可以由有限多個Fibonacci數組成。n=f[a1]+f[a2]+f[a3]....+f[ap]（a1>a2>a3...ap）。令先手將f[ap]取完，a(p-1)>ap+1，例：8>2。f[a(p-1)]>f[ap]*2，後手不能一次將a(p-1)這堆取完，即後手將面臨這個a(p-1)堆的子游戲，必敗態。後續的每一堆，先手可取該堆的最後一顆。即先手獲得最終的勝利。
證畢。