向任意平面的投影矩陣的推導

概述

方法來自於《3D數學基礎，圖形與遊戲開發》這本書。

基本原理

這個方法其實有點思維跳躍，原理是首先推導出一個任意方向n縮放比例爲k的縮放矩陣，然後將k變成0，這就變成了向垂直於n的投影平面的投影矩陣

縮放矩陣的推導

對於座標軸上的縮放，我們很容易就能獲得縮放矩陣：
$\begin{bmatrix} kx&0&0\\ 0&ky&0\\ 0&0&kz\\ \end{bmatrix}$
然而對於任意方向的縮放，則有另一種方法來計算

如上圖所示，v沿着方向n來以縮放係數爲k來進行縮放，縮放得到的結果爲v’,則有下列的一系列公式：
v=v∥+v⊥
v∥=(v* n)n
v⊥’=v⊥=v-v∥=v-(v* n)n 因爲垂直方向沒有縮放
v∥’=kv∥=k(v* n)n k倍縮放
v’ = v⊥’+v∥’ = v-(v* n)n+k(v* n)n = v+(k-l)(v* n)n
至此，我們已經計算出來了最後的v’，那麼，要怎麼根據v’來獲取縮放矩陣呢？
只要以此代入(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)這三個座標，把得到的結果寫入矩陣的三行即可，具體的原理只需要拿這些點乘一下最後得到的結果就知道了。前面的任意軸的旋轉矩陣的推導也是很類似的，最後得到的結果如下所示：
$\begin{bmatrix} 1+(k-1)n_x^2&(k-1)n_xn_y&(k-1)n_xn_z\\ (k-1)n_xn_y&1+(k-1)n_y^2&(k-1)n_yn_z\\ (k-1)n_xn_z&(k-1)n_zn_y&1+(k-1)n_z^2 \end{bmatrix}$

向任意平面的投影矩陣的推導

這個推導就很簡單了，只需要把上面矩陣的k變成0，就能得到我們需要的投影矩陣了，如下所示：
$\begin{bmatrix} 1-n_x^2&-n_xn_y&-n_xn_z\\ -n_xn_y&1-n_y^2&-n_yn_z\\ -n_xn_z&-n_zn_y&1-n_z^2\\ \end{bmatrix}$

在unity實現

只要傳入矩陣然後在頂點着色器對頂點進行變換即可，可以看到，立方體和房子都投影成了一個面。




腳本如下：

using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
using UnityEngine;

public class RotateMatrixTest : MonoBehaviour
{
    public Material mat;
    public Vector3 n;
    private Matrix4x4 calculateScaleMatrix(Vector3 n)
    {
        Matrix4x4 RotationMatrix = new Matrix4x4();
        RotationMatrix[0, 0] = 1 - n.x * n.x;
        RotationMatrix[0, 1] = -n.x * n.y;
        RotationMatrix[0, 2] = -n.x * n.z;
        RotationMatrix[0, 3] = 0;
        RotationMatrix[1, 0] = -n.x * n.y;
        RotationMatrix[1, 1] = 1 - n.y * n.y;
        RotationMatrix[1, 2] = -n.y * n.z;
        RotationMatrix[1, 3] = 0;
        RotationMatrix[2, 0] = -n.x * n.z;
        RotationMatrix[2, 1] = -n.z * n.y;
        RotationMatrix[2, 2] = 1 - n.z * n.z;
        RotationMatrix[2, 3] = 0;
        RotationMatrix[3, 0] = 0;
        RotationMatrix[3, 1] = 0;
        RotationMatrix[3, 2] = 0;
        RotationMatrix[3, 3] = 1;
        return RotationMatrix;
    }  
    private void Update()
    {
        Vector3 normalizedN = n.normalized;
        mat.SetMatrix("_RotationMatrix", calculateScaleMatrix(normalizedN));
    }
}

shader：

Shader "Unlit/rotateTest"
{
    Properties
    {
        _MainTex ("Texture", 2D) = "white" {}
    }
    SubShader
    {
        Tags { "RenderType"="Opaque" }
        Pass
        {
            CGPROGRAM
            #pragma vertex vert
            #pragma fragment frag
            #include "UnityCG.cginc"
            struct appdata
            {
                float4 vertex : POSITION;
                float2 uv : TEXCOORD0;
            };
            struct v2f
            {
                float2 uv : TEXCOORD0;
                float4 vertex : SV_POSITION;
				float4 worldPos : TEXCOORD1;
            };

            sampler2D _MainTex;
            float4 _MainTex_ST;
			float4x4 _RotationMatrix;
            v2f vert (appdata v)
            {
                v2f o;
				fixed4 rotPos = mul(_RotationMatrix,v.vertex);
                o.vertex = UnityObjectToClipPos(rotPos);
                o.uv = TRANSFORM_TEX(v.uv, _MainTex);
                return o;
            }

            fixed4 frag (v2f i) : SV_Target
            {
                // sample the texture
				
                fixed4 col = tex2D(_MainTex, i.uv);
                return col;
            }
            ENDCG
        }
    }
}