方法來自於《3D數學基礎，圖形與遊戲開發》這本書。
這種情況的轉換不難，還記得我們的旋轉矩陣長啥樣嗎，歐拉角的三個值就是座標系繞着特定軸旋轉的值，注意是座標系旋轉哦，點的旋轉值是和座標系的旋轉值相反的，需要把旋轉矩陣的角度取反。[ c o s ( − h ) 0 − s i n ( − h ) 0 1 0 s i n ( − h ) 0 c o s ( − h ) ] \begin{bmatrix}
cos(-h)&0&-sin(-h)\\
0&1&0\\
sin(-h)&0&cos(-h)\\
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ c o s ( − h ) 0 s i n ( − h ) 0 1 0 − s i n ( − h ) 0 c o s ( − h ) ⎦ ⎤ [ c o s h c o s b + s i n h s i n p s i n b − c o s h s i n b + s i n h s i n p c o s b s i n h c o s p s i n b c o s p c o s b c o s p − s i n p − s i n h c o s b + c o s h s i n p s i n b s i n b s i n h + c o s h s i n p c o s b c o s h c o s p ] \begin{bmatrix}
coshcosb+sinhsinpsinb&-coshsinb+sinhsinpcosb&sinhcosp\\
sinbcosp&cosbcosp&-sinp\\
-sinhcosb+coshsinpsinb&sinbsinh+coshsinpcosb&coshcosp\\
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ c o s h c o s b + s i n h s i n p s i n b s i n b c o s p − s i n h c o s b + c o s h s i n p s i n b − c o s h s i n b + s i n h s i n p c o s b c o s b c o s p s i n b s i n h + c o s h s i n p c o s b s i n h c o s p − s i n p c o s h c o s p ⎦ ⎤
當我們知道了從歐拉角到旋轉矩陣的矩陣形式，倒推是一件非常簡單的事情,假設上面的矩陣爲M，則M23 = -sinp，我們能直接得到繞x軸的旋轉角度p，然後把M21/M22能直接得到tanb，所以也能得到繞z的旋轉角度b，把M13/M33也能直接得到tanh，然後就能得到角度h，於是這一切問題都解決了，是不是很容易。
[ n x 2 ( 1 − c o s θ ) + c o s θ n x n y ( 1 − c o s θ ) + n z s i n θ n x n z ( 1 − c o s θ ) − n y s i n θ n x n y ( 1 − c o s θ ) − n z s i n θ n y 2 ( 1 − c o s θ ) + c o s θ n y n z ( 1 − c o s θ ) + n x s i n θ n x n z ( 1 − c o s θ ) + n y s i n θ n y n z ( 1 − 0 c o s θ ) − n x s i n θ n x 2 ( 1 − c o s θ ) + c o s θ ] \begin{bmatrix}
n_x^2(1-cos\theta)+cos\theta & n_xn_y(1-cos\theta)+n_zsin\theta&n_xn_z(1-cos\theta)-n_ysin\theta\\
n_xn_y(1-cos\theta)-n_zsin\theta&n_y^2(1-cos\theta)+cos\theta&n_yn_z(1-cos\theta)+n_xsin_\theta\\
n_xn_z(1-cos\theta)+n_ysin\theta&n_yn_z(1-0cos\theta)-n_xsin\theta&n_x^2(1-cos\theta)+cos\theta
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ n x 2 ( 1 − c o s θ ) + c o s θ n x n y ( 1 − c o s θ ) − n z s i n θ n x n z ( 1 − c o s θ ) + n y s i n θ n x n y ( 1 − c o s θ ) + n z s i n θ n y 2 ( 1 − c o s θ ) + c o s θ n y n z ( 1 − 0 c o s θ ) − n x s i n θ n x n z ( 1 − c o s θ ) − n y s i n θ n y n z ( 1 − c o s θ ) + n x s i n θ n x 2 ( 1 − c o s θ ) + c o s θ ⎦ ⎤
這個東西就是我們繞任意軸n旋轉θ \theta θ w = c o s ( θ / 2 ) w = cos(\theta/2) w = c o s ( θ / 2 ) x = n x s i n ( θ / 2 ) x = n_xsin(\theta/2) x = n x s i n ( θ / 2 ) y = n y s i n ( θ / 2 ) y = n_ysin(\theta/2) y = n y s i n ( θ / 2 ) z = n z s i n ( θ / 2 ) z = n_zsin(\theta/2) z = n z s i n ( θ / 2 ) c o s 2 α = 1 − s i n 2 α cos2\alpha = 1-sin^2\alpha c o s 2 α = 1 − s i n 2 α [ 1 − 2 y 2 − 2 z 2 2 x y + 2 w z 2 x z − 2 w y 2 x y − 2 w z 1 − 2 x 2 − 2 z 2 2 y z + 2 w x 2 x z + 2 w y 2 y z − 2 w x 1 − 2 x 2 − 2 y 2 ] \begin{bmatrix}
1-2y^2-2z^2&2xy+2wz&2xz-2wy\\
2xy-2wz&1-2x^2-2z^2&2yz+2wx\\
2xz+2wy&2yz-2wx&1-2x^2-2y^2\\
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 − 2 y 2 − 2 z 2 2 x y − 2 w z 2 x z + 2 w y 2 x y + 2 w z 1 − 2 x 2 − 2 z 2 2 y z − 2 w x 2 x z − 2 w y 2 y z + 2 w x 1 − 2 x 2 − 2 y 2 ⎦ ⎤
同旋轉矩陣到歐拉角一樣，我們需要從矩陣本身來逆推一下，計算原理本身不難，我們設旋轉矩陣爲M，則有M 11 + M 22 + M 33 = 4 w 2 − 1 M11+M22+M33=4w^2-1 M 1 1 + M 2 2 + M 3 3 = 4 w 2 − 1 M 11 − M 22 − M 33 = 4 x 2 − 1 M11-M22-M33=4x^2-1 M 1 1 − M 2 2 − M 3 3 = 4 x 2 − 1 − M 11 + M 22 − M 33 = 4 y 2 − 1 -M11+M22-M33=4y^2-1 − M 1 1 + M 2 2 − M 3 3 = 4 y 2 − 1 − M 11 − M 22 + M 33 = 4 z 2 − 1 -M11-M22+M33=4z^2-1 − M 1 1 − M 2 2 + M 3 3 = 4 z 2 − 1 θ \theta θ
這個得要從四元數的定義下手，繞着n軸旋轉θ \theta θ q = [ c o s ( θ / 2 ) ( ( s i n ( θ / 2 ) n x ) ( s i n ( θ / 2 ) n y ) ( s i n ( θ / 2 ) n z ) ) q = [cos(\theta/2) ((sin(\theta/2)n_x) (sin(\theta/2)n_y) (sin(\theta/2)n_z)) q = [ c o s ( θ / 2 ) ( ( s i n ( θ / 2 ) n x ) ( s i n ( θ / 2 ) n y ) ( s i n ( θ / 2 ) n z ) ) h = [ c o s ( − h / 2 ) ( 0 s i n ( − h / 2 ) 0 ) ] h = [cos(-h/2) (0 sin(-h/2) 0)] h = [ c o s ( − h / 2 ) ( 0 s i n ( − h / 2 ) 0 ) ] p = [ c o s ( − p / 2 ) ( s i n ( − p / 2 ) 00 ) ] p = [cos(-p/2) (sin(-p/2)0 0)] p = [ c o s ( − p / 2 ) ( s i n ( − p / 2 ) 0 0 ) ] b = [ c o s ( − b / 2 ) ( 00 s i n ( − b / 2 ) ) ] b = [cos(-b/2) (00sin(-b/2))] b = [ c o s ( − b / 2 ) ( 0 0 s i n ( − b / 2 ) ) ]
根據四元組的乘法公式[ w 1 [ x 1 y 1 z 1 ] ] ∗ [ w 2 [ x 2 y 2 z 2 ] ] = [ w 1 w 2 x 1 x 2 − y 1 y 2 − z 1 z 2 [ w 1 x 2 + x 1 w 2 + z 1 y 2 − y 1 z 2 w 1 y 2 + y 1 w 2 + x 1 z 2 − z 1 x 2 w 1 z 2 + z 1 w 2 + y 1 x 2 − x 1 y 2 ] ] \begin{bmatrix}w1\\\begin{bmatrix}x_1\\y_1\\z_1\\\end{bmatrix}\end{bmatrix}*
\begin{bmatrix}w2\\\begin{bmatrix}x_2\\y_2\\z_2\\\end{bmatrix}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}w_1w_2x_1x_2-y_1y_2-z_1z_2\\\begin{bmatrix}w_1x_2+x_1w_2+z_1y_2-y_1z_2\\w_1y_2+y_1w_2+x_1z_2-z_1x_2\\w_1z_2+z_1w_2+y_1x_2-x_1y_2\\\end{bmatrix}\end{bmatrix} ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ w 1 ⎣ ⎡ x 1 y 1 z 1 ⎦ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ ∗ ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ w 2 ⎣ ⎡ x 2 y 2 z 2 ⎦ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ w 1 w 2 x 1 x 2 − y 1 y 2 − z 1 z 2 ⎣ ⎡ w 1 x 2 + x 1 w 2 + z 1 y 2 − y 1 z 2 w 1 y 2 + y 1 w 2 + x 1 z 2 − z 1 x 2 w 1 z 2 + z 1 w 2 + y 1 x 2 − x 1 y 2 ⎦ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ h q b = [ c o s ( h / 2 ) c o s ( p / 2 ) c o s ( b / 2 ) + s i n ( h / 2 ) s i n ( p / 2 ) s i n ( b / 2 ) [ c o s ( h / 2 ) s i n ( p / 2 ) c o s ( b / 2 ) + s i n ( h / 2 ) c o s ( p / 2 ) s i n ( b / 2 ) s i n ( h / 2 ) c o s ( p / 2 ) c o s ( b / 2 ) − c o s ( h / 2 ) s i n ( p / 2 ) s i n ( b / 2 ) c o s ( h / 2 ) c o s ( p / 2 ) s i n ( b / 2 ) − s i n ( h / 2 ) s i n ( p / 2 ) c o s ( b / 2 ) ] ] hqb=\begin{bmatrix}cos(h/2)cos(p/2)cos(b/2)+sin(h/2)sin(p/2)sin(b/2)\\
\begin{bmatrix}cos(h/2)sin(p/2)cos(b/2)+sin(h/2)cos(p/2)sin(b/2)\\sin(h/2)cos(p/2)cos(b/2)-cos(h/2)sin(p/2)sin(b/2)\\cos(h/2)cos(p/2)sin(b/2)-sin(h/2)sin(p/2)cos(b/2)\\\end{bmatrix}
\end{bmatrix} h q b = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ c o s ( h / 2 ) c o s ( p / 2 ) c o s ( b / 2 ) + s i n ( h / 2 ) s i n ( p / 2 ) s i n ( b / 2 ) ⎣ ⎡ c o s ( h / 2 ) s i n ( p / 2 ) c o s ( b / 2 ) + s i n ( h / 2 ) c o s ( p / 2 ) s i n ( b / 2 ) s i n ( h / 2 ) c o s ( p / 2 ) c o s ( b / 2 ) − c o s ( h / 2 ) s i n ( p / 2 ) s i n ( b / 2 ) c o s ( h / 2 ) c o s ( p / 2 ) s i n ( b / 2 ) − s i n ( h / 2 ) s i n ( p / 2 ) c o s ( b / 2 ) ⎦ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎤
這個變換我們可以利用旋轉矩陣作爲中間變量，我們知道旋轉矩陣如何表示歐拉角，2-y 2)) cosp!=02-z 2)) cosp=02-z 2)) cosp!=0
