maximum-sum-subarray
给定一个整数数组 nums
,找到一个具有最大和的连续子数组(子数组最少包含一个元素),返回其最大和。
看到一个形象的比喻:
假设你是一个选择性遗忘的赌徒,数组nums表示你这几天来赢钱或者输钱
sum——表示这几天来的输赢,
max——存储你手里赢到的最多的钱,
如果昨天你手上还是输钱(sum < 0),你忘记它,明天继续赌钱;
如果你手上是赢钱(sum > 0), 你记得,你继续赌钱;
如果一直输钱,那么就记得输的最少的一次min(nums)
算法思想
通常,解答这类题目[a,b,c,d,e]
避免不了遍历,有如下三种遍历子串或子序列方式:
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以某个节点开头遍历; 如
[a]
,[a, b]
,[ a, b, c]
…适用于暴力解法
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基于长度遍历;如先遍历出子序列长度为 1 的子序列,在遍历出长度为 2 的 等等。
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以子序列的结束节点为基准遍历;如
b
为结束点的所有子序列:[a , b]
[b]
——DP核心
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暴力法**(空间复杂度O(1),时间复杂度O())
注意边界条件
for i in range(1,n): sum_=nums[i] for j in range(i+1,n): max_=max(max_,sum_) sum_+=num[j]
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贪心法(空间复杂度O(1),时间复杂度O())
从左向右迭代,一个个数字加过去,若sum<0,重新开始找字符串
sum_=max_=nums[0] for i in range(1,len(nums)): if sum_<0: sum_=nums[i] max_=max(max_,sum_) else: sum_+=nums[i] max_=max(max_,sum_) print(max_)
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分治法(空间复杂度O(1),时间复杂度O())
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问题特征
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问题规模缩小到一定程度可容易解决
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问题可分解为若干规模较小的相同问题,即该问题具有最优子结构性质
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子问题的解可合并为该问题的解
注:分治法完全取决于条件3。若不满足,则考虑使用DP或贪心
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子问题相互独立,即互相之间不包含公共子问题
注:若不独立,分治法需要多次重复求解公共子问题,故动态规划较好。
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步骤:
- 分解:将原问题分解为若干规模较小,互相独立,和原问题形式相同的子问题
- 解决:若子问题规模较小,直接解决,否则递归求解各个子问题
- 合并:将各个子问题的解合并为原问题的解。
Divide-and-Conquer(P) 1. if |P|≤n0 #|P|:问题P的规模,n0阈值,当规模<阈值时,问题可直接解出,不必分解。 2. then return(ADHOC(P)) #ADHOC(P)基本子算法 3. 将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,...,Pk 4. for i←1 to k 5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 递归解决Pi 6. T ← MERGE(y1,y2,...,yk) △ 合并子问题 7. return(T)
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问题解决(最大序列和)
子问题不相互独立,重复求解公共问题
'''将序列一分为2,其最大子序列和不是在序列左边,便是在其右边,或跨中间 跨中间单独考虑:用贪心法来解决 ''' class Solution: def maxSubArray(self, nums: list) -> int: if len(nums)==1: return nums[0] else: mid=len(nums)//2 max_l=self.maxSubArray(nums[0:mid]) max_r=self.maxSubArray(nums[mid:len(nums)]) #跨中心 leftmax=nums[mid-1] sum_l=0 for i in range(mid-1,-1,-1): sum_l+=nums[i] leftmax=max(sum_l,leftmax) rightmax=nums[mid] sum_r=0 for i in range(mid,len(nums)): sum_r+=nums[i] rightmax=max(sum_r,rightmax) max_mid=leftmax+rightmax return max(max_l,max_r,max_mid)
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动态规划(空间复杂度O(),时间复杂度O())
dp[i]表示nums中以nums[i]为结尾的最大子序和
dp[i]=max(dp[i-1]+num[i],num[i]);
dp=[nums[0]] for i in range(1,len(nums)): dp.append(max(dp[i-1]+nums[i],nums[i])) return max(dp) #另一种写法:空间复杂度变为O(1) max_=sum_=nums[0] for i in range(1,len(nums)): if sum_+nums[i]>nums[i]: sum_+=nums[i] else: sum_=nums[i] max_=max(max_,sum_) return max_