問題描述：用邏輯迴歸根據學生的考試成績來判斷該學生是否可以入學。
這裏的訓練數據(training instance)是學生的兩次考試成績，以及TA是否能夠入學的決定（y=0表示成績不合格，不予錄取；y=1表示錄取）
因此，需要根據trainging set 訓練出一個classification model。然後，拿着這個classification model 來評估新學生能否入學。
訓練數據的成績樣例如下：第一列表示第一次考試成績，第二列表示第二次考試成績，第三列表示入學結果（0--不能入學，1--可以入學）
訓練數據圖形表示 如下：橫座標是第一次考試的成績，縱座標是第二次考試的成績，右上角的 + 表示允許入學，圓圈表示不允許入學。
Plotdata()函數在作業說明中已作了實現，我們只需要把它貼到platdata.m文件中即可得出下面數據圖形。其中，octva中的find()和pos函數起了主要作用。
備註如下：
function plotData(X, y)
%PLOTDATA Plots the data points X and y into a new figure
% PLOTDATA(x,y) plots the data points with + for the positive examples
% and o for the negative examples. X is assumed to be a Mx2 matrix.
% Create New Figure
figure; hold on;
% ====================== YOUR CODE HERE ======================
% Instructions: Plot the positive and negative examples on a
% 2D plot, using the option 'k+' for the positive
% examples and 'ko' for the negative examples.
%
pos=find(y==1);
neg=find(y==0);
plot(X(pos,1), X(pos,2), 'k+', 'LineWidth', 2, 'MarkerSize', 7);
plot(X(neg,1), X(neg,2), 'ko', 'MarkerFaceColor', 'y', 'MarkerSize', 7);
% =========================================================================
hold off;
end
圖形畫出來之後，對訓練數據就有了一個大體的可視化的認識了。接下來就要實現 模型了，這裏需要訓練一個邏輯迴歸模型。
①sigmoid function
對於 logistic regression而言，它針對的是 classification problem。這裏只討論二分類問題，比如上面的“根據成績入學”，結果只有兩種：y==0時，成績未合格，不予入學；y==1時，可入學。即，y的輸出要麼是0，要麼是1
如果採用 linear regression，它的假設函數是這樣的：
假設函數的取值即可以遠遠大於1，也可以遠遠小於0，並且容易受到一些特殊樣本的影響。比如在上圖中，就只能約定：當假設函數大於等於0.5時；預測y==1，小於0.5時，預測y==0。
而如果引入了sigmoid function，就可以把假設函數的值域“約束”在[0, 1]之間。總之，引入sigmoid function，就能夠更好的擬合分類問題中的數據，即從這個角度看：regression model 比 linear model 更合適 classification problem.
引入sigmoid後，假設函數如下：
sigmoid function 用Octave實現如下：
function g = sigmoid(z)
%SIGMOID Compute sigmoid function
% g = SIGMOID(z) computes the sigmoid of z.
% You need to return the following variables correctly
g = zeros(size(z));
% ====================== YOUR CODE HERE ======================
% Instructions: Compute the sigmoid of each value of z (z can be a matrix,
% vector or scalar).
g=1./(1+exp(-z)); //因爲有上面紅字的要求，所以這裏用點除，表示1要除以矩陣(向量)中的每一個元素，作業過程中曾只用過1，導致傳入矩陣時報輸入數據不對%
=============================================================
end
②模型的代價函數(cost function)
什麼是代價函數呢？
把訓練好的模型對新數據進行預測，那預測結果有好有壞。因此，就用cost function 來衡量預測的"準確性"。cost function越小，表示測的越準。這裏的代價函數的本質是”最小二乘法“---ordinary least squares
代價函數的最原始的定義是下面的這個公式：可見，它是關於 theta 的函數。(X，y 是已知的，由training set 中的數據確定了)
那如何求解 cost function的參數 theta，從而確定J(theta)呢？有兩種方法：一種是梯度下降算法(Gradient descent)，另一種是正規方程(Normal Equation)，本文只討論Gradient descent。
而梯度下降算法，本質上是求導數(偏導數)，或者說是：方向導數。方向導數所代表的方向--梯度方向，下降得最快。
而我們知道，對於某些圖形所代表的函數，它可能有很多個導數爲0的點，這類函數稱爲非凸函數(non-convex function)；而某些函數，它只有一個全局唯一的導數爲0的點，稱爲 convex function，比如下圖：
convex function能夠很好地讓Gradient descent尋找全局最小值。而上圖左邊的non-convex就不太適用Gradient descent了。
就是因爲上面這個原因，logistic regression 的 cost function被改寫成了下面這個公式：
可以看出，引入log 函數（對數函數），讓non-convex function 變成了 convex function
再精簡一下cost function，其實它可以表示成：
J(theta)可用向量表示成：
這裏，用Octave表示代價函數CostFunction即爲：
J=(-log(sigmoid(theta'*X'))*y-log(1-sigmoid(theta'*X'))*(1-y))/m;
③梯度下降算法
上面已經講到梯度下降算法本質上是求偏導數，目標就是尋找theta，使得 cost function J(theta)最小。公式如下：
上面對theta(j)求偏導數，得到的值就是梯度j，記爲：grad(j)
通過線性代數中的矩陣乘法以及向量的乘法規則，可以將梯度grad表示成向量的形式：
至於如何證明的，可參考：Exercise 1的線性迴歸： http://blog.csdn.net/wqhlmark64/article/details/78436523
Octave表示的梯度即爲：
grad=X'*(sigmoid(theta'*X')'-y)/m;
需要注意的是：對於logistic regression，假設函數h(x)=g(z)，即它引入了sigmoid function.
最終實現的代價函數爲：
function [J, grad] = costFunction(theta, X, y)
%COSTFUNCTION Compute cost and gradient for logistic regression
% J = COSTFUNCTION(theta, X, y) computes the cost of using theta as the
% parameter for logistic regression and the gradient of the cost
% w.r.t. to the parameters.
% Initialize some useful values
m = length(y); % number of training examples
% You need to return the following variables correctly
J = 0;
grad = zeros(size(theta));
% ====================== YOUR CODE HERE ======================
% Instructions: Compute the cost of a particular choice of theta.
% You should set J to the cost.
% Compute the partial derivatives and set grad to the partial
% derivatives of the cost w.r.t. each parameter in theta
%
% Note: grad should have the same dimensions as theta%
J=(-log(sigmoid(theta'*X'))*y-log(1-sigmoid(theta'*X'))*(1-y))/m;
grad=X'*(sigmoid(theta'*X')'-y)/m;
% =============================================================
end
通過調用costfunction.m文件中定義的coustFunction函數，從而運行梯度下降算法找到使代價函數J(theta)最小化的 邏輯迴歸模型參數theta。調用costFunction函數的代碼如下：
%% ============= Part 3: Optimizing using fminunc =============
% In this exercise, you will use a built-in function (fminunc) to find the
% optimal parameters theta.
% Set options for fminunc
options = optimset('GradObj', 'on', 'MaxIter', 400);
% Run fminunc to obtain the optimal theta% This function will return theta and the cost
[theta, cost] = fminunc(@(t)(costFunction(t, X, y)), initial_theta, options);
從上面代碼的最後一行可以看出，我們是通過 fminunc 調用 costFunction函數，來求得 theta的，而不是自己使用 Gradient descent 在for 循環求導來計算 theta。for循環中求導計算theta，我們在第一次練習中已有實現，此處不再重複。作業2中調用fminunc()應該也是爲了讓學生在不同作業中能嘗試不同的方法。
通過Gradient descent算法求得了theta，將theta代入到假設函數中，就得到了 logistic regression model，用圖形表示如下
④模型的評估（Evaluating logistic regression）
那如何估計，求得的邏輯迴歸模型是好還是壞呢？預測效果怎麼樣？因此，就需要拿一組數據測試一下，測試代碼如下：
%% ============== Part 4: Predict and Accuracies ==============
% After learning the parameters, you'll like to use it to predict the outcomes
% on unseen data. In this part, you will use the logistic regression model
% to predict the probability that a student with score 45 on exam 1 and
% score 85 on exam 2 will be admitted.
%
% Furthermore, you will compute the training and test set accuracies of
% our model.
%
% Your task is to complete the code in predict.m
% Predict probability for a student with score 45
on exam 1 and score 85 on exam 2
prob = sigmoid([1 45 85] * theta); //給定的預測輸入45,85
fprintf(['For a student with scores 45 and 85, we predict an admission probability of %f\n'], prob);
fprintf('Expected value: 0.775 +/- 0.002\n\n');
% Compute accuracy on our training set
p = predict(theta, X);
fprintf('Train Accuracy: %f\n', mean(double(p == y)) * 100);
fprintf('Expected accuracy (approx): 89.0\n');
模型的測試結果如下：
For a student with scores 45 and 85, we predict an admission probability of 0.776289
Expected value: 0.775 +/- 0.002 //預期結果和計算結果相差很小，基本相當
Train Accuracy: 89.000000
Expected accuracy (approx): 89.0
那predict函數是如何實現的呢？predict.m 如下：
function p = predict(theta, X)
%PREDICT Predict whether the label is 0 or 1 using learned logistic
%regression parameters theta
% p = PREDICT(theta, X) computes the predictions for X using a
% threshold at 0.5 (i.e., if sigmoid(theta'*x) >= 0.5, predict 1)
m = size(X, 1); % Number of training examples
% You need to return the following variables correctly
p = zeros(m, 1);
% ====================== YOUR CODE HERE ======================
% Instructions: Complete the following code to make predictions using
% your learned logistic regression parameters.
% You should set p to a vector of 0's and 1's
%
p = X*theta >= 0; //預測函數
% ==============================================================
end
非常簡單，只有一行代碼：p = X * theta >= 0，原理如下：
當h(x)>=0.5時，預測y==1，而h(x)>=0.5 等價於 z>=0。
⑤邏輯迴歸的正則化（Regularized logistic regression）
爲什麼需要正則化？正則化就是爲了解決過擬合問題(overfitting problem)。那什麼又是過擬合問題呢？
一般而言，當模型的特徵(feature variables)非常多，而訓練的樣本數目(training set)又比較少的時候，訓練得到的假設函數(hypothesis function)能夠非常好地匹配training set中的數據，此時的代價函數幾乎爲0。下圖中最右邊的那個模型 就是一個過擬合的模型。
所謂過擬合，從圖形上看就是：假設函數曲線完美地通過中樣本中的每一個點。也許有人會說：這不正是最完美的模型嗎？它完美地匹配了traing set中的每一個樣本呀！
過擬合模型不好的原因是：儘管它能完美匹配traing set中的每一個樣本，但它不能很好地對未知的 (新樣本實例)input instance 進行預測呀！通俗地講，就是過擬合模型的預測能力差。
因此，正則化(regularization)就出馬了。
前面提到，正是因爲 feature variable非常多，導致 hypothesis function 的冪次很高，hypothesis function變得很複雜(彎彎曲曲的)，從而通過穿過每一個樣本點(完美匹配每個樣本)。如果添加一個"正則化項"，減少
高冪次的特徵變量的影響，那 hypothesis function不就變得平滑了嗎？
正如前面提到，梯度下降算法的目標是最小化cost function，而現在把 theta(3) 和 theta(4)的係數設置爲1000，設得很大，求偏導數時，相應地得到的theta(3) 和 theta(4) 就都約等於0了。
更一般地，我們對每一個theta(j)，j>=1，進行正則化，就得到了一個如下的代價函數：其中的 lambda(λ)就稱爲正則化參數(regularization parameter)
從上面的J(theta)可以看出：如果lambda(λ)=0，則表示沒有使用正則化，即不用正則化時的迴歸準確度最高，但過擬合程度也最大；如果lambda(λ)過大，使得模型的各個參數都變得很小，導致h(x)=theta(0)，從而造成欠擬合；如果lambda(λ)很小，則未充分起到正則化的效果。因此，lambda(λ)的值要合適，示例中lambda=1比較合適，想進一步準確，可在[0,10]之間進行反覆調優。
最後，我們來看一個實際的過擬合的示例，原始的訓練數據如下圖：
引入不同的lambda，可以看到誤差分別爲：
lambda= 1.000000: Cost at initial theta (zeros): 0.693147 ,Expected cost (approx): 0.693
Expected gradients (approx) - first five values only: 0.0085 0.0188 0.0001 0.0503 0.0115
lambda=10: Cost at test theta (with lambda = 10): 3.164509 , Expected cost (approx): 3.16
Expected gradients (approx) - first five values only: 0.3460 0.1614 0.1948 0.2269 0.0922
lambad=100: Cost at test theta (with lambda = 100): 13.461120, Expected cost (approx): 3.16
Expected gradients (approx) - first five values only: 0.3460 0.1614 0.1948 0.2269 0.0922
以及迴歸的準確度：
lambda=0: Train Accuracy: 86.440678
lambda=1: Train Accuracy: 83.050847, Expected accuracy (with lambda = 1): 83.1 (approx)
lambda=10: Train Accuracy: 74.576271
lambda=100: Train Accuracy: 61.016949
lambda等於不同的值時的判定邊界分別如圖所示：
正規化時生成代價函數和調用它的函數如下：
function [J, grad] =costFunctionReg(theta, X, y, lambda)
%COSTFUNCTIONREG Compute cost and gradient for logistic regression with regularization
% J = COSTFUNCTIONREG(theta, X, y, lambda) computes the cost of using
% theta as the parameter for regularized logistic regression and the
% gradient of the cost w.r.t. to the parameters.
% Initialize some useful values
m = length(y); % number of training examples
% You need to return the following variables correctly
J = 0;
grad = zeros(size(theta));
% ====================== YOUR CODE HERE ======================
% Instructions: Compute the cost of a particular choice of theta.
% You should set J to the cost.
% Compute the partial derivatives and set grad to the partial
% derivatives of the cost w.r.t. each parameter in theta
J=(-log(sigmoid(theta'*X'))*y-log(1-sigmoid(theta'*X'))*(1-y))/m+lambda*(theta(2:size(theta,1),1)'*theta(2:size(theta,1),1))/2/m;
% grad(1,1)=X(:,1)'*(sigmoid(theta'*X')'-y)/m;
% grad(2:size(theta,1),1)=X(:,2:size(theta,1))'*(sigmoid(theta'*X')'-y)/m+theta(2:size(theta,1),1)*lambda/m;
grad =(X'*(sigmoid(X*theta)-y))/m + (lambda/m) * ([0; ones(length(theta)-1,1)].*theta );
% =============================================================
end
%% =============Part 2: Regularization and Accuracies =============
% Optional Exercise:
% In this part, you will get to try different values of lambda and
% see how regularization affects the decision coundart
%
% Try the following values of lambda (0, 1, 10, 100).
%
% How does the decision boundary change when you vary lambda? How does
% the training set accuracy vary?
%
% Initialize fitting parameters
initial_theta = zeros(size(X, 2), 1);
% Set regularization parameter lambda to 1 (you should vary this)
lambda = 0; % 0,1,10,100 ,etc...
% Set Options
options = optimset('GradObj', 'on', 'MaxIter', 400);
% Optimize
[theta, J, exit_flag] = ...
fminunc(@(t)(costFunctionReg(t, X, y, lambda)), initial_theta, options);
% Plot Boundary
plotDecisionBoundary(theta, X, y);
hold on;
title(sprintf('lambda = %g', lambda))
% Labels and Legend
xlabel('Microchip Test 1')
ylabel('Microchip Test 2')
legend('y = 1', 'y = 0', 'Decision boundary')
hold off;
% Compute accuracy on our training set
p = predict(theta, X);
fprintf('Train Accuracy: %f\n', mean(double(p == y)) * 100);
fprintf('Expected accuracy (with lambda = 1): 83.1 (approx)\n');
⑥簡單總結：
通過對邏輯迴歸線上課程、網上筆記及作業的練習，對邏輯迴歸的概念、使用場景、算法推導過程、收斂過程、注意事項及與線性迴歸的異同等有了比較詳細的理解和掌握。
剛完成第三週的課程，加油！！
Ref和感謝：
http://www.cnblogs.com/hapjin/p/6078530.html