关于Fibonacci算法及Lucas算法说明

Fibonacci查找算法是基于有序序列的，在二分法查找基础上做出的改进，属于黄金比例搜索算法。Fibonacci数列的每一项与其后一项之比都接近于0.618，而且越往后比值越接近。而Lucas算法则是在Fibonacci算法的基础上又提出来的一个新的黄金比例算法，与Fibonacci的通项公式

Fib(n) = Fib(n - 1) + Fib(n - 2) (n>=2, Fib(1)=0, Fib(2)=1)

不同的是，Lucas的通项公式为

Luc(n) = Luc(n - 1) + Luc(n - 2) (n>=2, Luc(1)=1, Luc(2)=3)

即Fibonacci数列前10项为： 0， 1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34
而Lucas数列的前10项分别： 1， 3， 4， 7， 11， 18， 29， 47， 76， 123
由上式可以明显看出，Lucas列的发散程度较Fibonacci数列大。有数据显示Lucas算法在最优情况下可以比Fibonacci算法更快，当然在最坏情况下也可能更慢。以下为你实现一下Fibonacci查找及Lucas查找。

/*
 * 这里采用C++的创建类的方式来实现Fibonacci算法，并将初始化时计算得出的Fibonacci数列值保存起来
 * 便于下次直接使用。同时，运用成员函数Prev()和Next()也很方便的获取得到相邻的Fibonacci数列值
 */
class Fibon
{
public:
    Fibon( int length)                      
    {                                      // 根据待查找序列的长度来确定当前的Fibonacci数列值 
        prev = 1;                          // 即构造成功后，curr的值最大化的接近length，可能大于或小于等于
        curr = 0;
        while( curr < length)
            next();
    }
    int GetCurr() const { return curr;}    // 获取当前指向的Fibonacci数列值
    int Prev()                             // 不论是前移还是后移，prev和curr都要同步倒退
    { 
        prev = curr - prev;                // 将上一位置的Fibonacci数列值后退一位
        curr = curr - prev;                // 将当前位置的Fibonacci数列值后退一位
        return curr;
    }
    int Next()                             // 理同Prev函数
    {
        curr = curr + prev;
        prev = curr - prev;
        return curr;
    }
private:
    int prev;         // 表示当前位置的前一个Fibonacci数列值
    int curr;         // 表示当前位置的Fibonacci数列值
};

以下是Fibonacci查找算法的实现，在此做出声明：

本Fibonacci算法不要求待查找序列的长度为某个Fibonacci数列值减1，即长度不受限制
本算法基于待查找序列长度找到小于或等于该序列长度的Fibonacci数列值，并使该数列值做为[low, mid)的区间长度
即(mid, high]的区间长度并不一定是Fibonacci数列值

static int FiboSearch( int *array, int input, int low, int high)
{
    Fibon fibon( high - low);                        // 根据待查找序列长度计算出相应的Fibonacci数列值
    while( low < high)
    {
        while( high - low < fibon.GetCurr())         // 每进入一个新的区间，[low, mid)或者(mid, high]都要重新
            fibon.Prev();                            // 计算一个新的Fibonacci数列值来做为mid 
        int mid = low + fibon.GetCurr() - 1;

        if( input < array[mi])
            high = mid;
        else if( array[mi] < input)
            low = mid + 1;
        else
            return mid;
    }
    return -1;                                       // 如果查找没有结果，统一返回-1
}

以上为Fibonacci查找的具体实现步骤，而Lucas其实理同Fibonacci算法，只需要将Fibonacci的类的构造函数中

prev = 1;
curr = 0;

改为

prev = 2;
curr = 1;

即可。其实是因为curr要能表示第一位，所以Fibonacci类中构造函数初始化prev为1，因为prev+curr就可以等于curr的下一个数，即1。
Lucas算法的初始化函数理同。