【Leetcode】50. Pow(x, n)

題目地址：

https://leetcode.com/problems/powx-n/

快速冪（exponentiating by squaring）。基本思路是，要求$x^n$，我們可以先計算$x^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}$，然後再回去求$x^n$，這類似於分治法，可以降低複雜度。有遞歸和非遞歸兩種寫法。

法1：含遞歸。由於測試數據裏有一個n取Integer.MIN_VALUE這個樣例，而這個值在計算機裏是沒有相反數的（也就是對於這個數，$n=-n$，不存在其對應的正數），所以要用long來做。代碼如下：

public class Solution {
    public double myPow(double x, int n) {
        return pow(x, n);
    }
    
    // 要用long來做
    private double pow(double x, long n) {
    	// base case是n = 0的情況
        if (n == 0) {
            return 1.0;
        }
    	// 如果n爲負，就調整爲正數來做。
        if (n < 0) {
            n = -n;
            x = 1.0 / x;
        }
    	// 分治
        double half = pow(x, n / 2);
        // 根據n的奇偶性來決定要不要額外乘一個x
        if (n % 2 == 0) {
            return half * half;
        } else {
            return half * half * x;
        }
    }
}

時空複雜度$O(\log n)$。

法2：非遞歸寫法。主要思路是對$n$做二進制展開，然後對這些二進制位從右向左掃描，用一個變量來保存到當前這個二進制位，$x$的那麼多次次方的結果是多少。

舉個例子來說，如果要算$x^{13}$，由於$13=(1101)_2$，$x$首先保存的是$x^{2^0}$是多少，也就是$x^1$，那其實就是$x$。接着開始從右向左掃描$1101$，掃描到第$0$位時遇到$1$，就給$res$乘上$x^{2^0}$，同時$x$需要平方一下，這樣就保存了$x^{2^1}$這個值，掃描到第$1$位時遇到$0$，$res$保持原樣，而$x$繼續平方一下，得到了$x^{2^2}$，繼續掃描到$1$，這時$res$乘一下$x^{2^2}$，如此下去$res$又乘了$x^{2^3}$，掃描結束。我們統計一下會發現，$res=x^{2^0}*x^{2^2}*x^{2^3}=x^{2^0+2^2+2^3}=x^{13}$，正好是所求結果。

代碼如下：

public class Solution {
    public double myPow(double x, int n) {
        return pow(x, n);
    }
    
    private double pow(double x, long n) {
        if (n < 0) {
            n = -n;
            x = 1.0 / x;
        }
        
        double res = 1.0;
        while (n > 0) {
            if (n % 2 != 0) {
                res *= x;
            }
            x *= x;
            n >>= 1;
        }
        
        return res;
    }
}

時間複雜度$O(\log n)$，空間$O(1)$。