【Leetcode】50. Pow(x, n)

题目地址：

https://leetcode.com/problems/powx-n/

快速幂（exponentiating by squaring）。基本思路是，要求$x^n$，我们可以先计算$x^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}$，然后再回去求$x^n$，这类似于分治法，可以降低复杂度。有递归和非递归两种写法。

法1：含递归。由于测试数据里有一个n取Integer.MIN_VALUE这个样例，而这个值在计算机里是没有相反数的（也就是对于这个数，$n=-n$，不存在其对应的正数），所以要用long来做。代码如下：

public class Solution {
    public double myPow(double x, int n) {
        return pow(x, n);
    }
    
    // 要用long来做
    private double pow(double x, long n) {
    	// base case是n = 0的情况
        if (n == 0) {
            return 1.0;
        }
    	// 如果n为负，就调整为正数来做。
        if (n < 0) {
            n = -n;
            x = 1.0 / x;
        }
    	// 分治
        double half = pow(x, n / 2);
        // 根据n的奇偶性来决定要不要额外乘一个x
        if (n % 2 == 0) {
            return half * half;
        } else {
            return half * half * x;
        }
    }
}

时空复杂度$O(\log n)$。

法2：非递归写法。主要思路是对$n$做二进制展开，然后对这些二进制位从右向左扫描，用一个变量来保存到当前这个二进制位，$x$的那么多次次方的结果是多少。

举个例子来说，如果要算$x^{13}$，由于$13=(1101)_2$，$x$首先保存的是$x^{2^0}$是多少，也就是$x^1$，那其实就是$x$。接着开始从右向左扫描$1101$，扫描到第$0$位时遇到$1$，就给$res$乘上$x^{2^0}$，同时$x$需要平方一下，这样就保存了$x^{2^1}$这个值，扫描到第$1$位时遇到$0$，$res$保持原样，而$x$继续平方一下，得到了$x^{2^2}$，继续扫描到$1$，这时$res$乘一下$x^{2^2}$，如此下去$res$又乘了$x^{2^3}$，扫描结束。我们统计一下会发现，$res=x^{2^0}*x^{2^2}*x^{2^3}=x^{2^0+2^2+2^3}=x^{13}$，正好是所求结果。

代码如下：

public class Solution {
    public double myPow(double x, int n) {
        return pow(x, n);
    }
    
    private double pow(double x, long n) {
        if (n < 0) {
            n = -n;
            x = 1.0 / x;
        }
        
        double res = 1.0;
        while (n > 0) {
            if (n % 2 != 0) {
                res *= x;
            }
            x *= x;
            n >>= 1;
        }
        
        return res;
    }
}

时间复杂度$O(\log n)$，空间$O(1)$。