【網絡流24題】太空飛行計劃

題目

鏈接：LOJ P6001
洛谷P2762

解法

考慮網絡流建模。設置點1$1$ ~ N$N$ 表示每種儀器，點N+1$N+1$ ~ N+M$N+M$ 表示每個項目，超源S$S$ ，超匯T$T$ 。從S$S$ 向所有項目各連一條邊(S,j,capacity=pj)$(S,j,capacity=p_j)$ ，從所有儀器各向T$T$ 連一條邊(k,T,capacity=ck)$(k,T,capacity=c_k)$ ，從每個實驗向其所需的儀器連邊(j,k,capacity=+∞)$(j,k,capacity=+\mathrm{\infty })$ ，答案即爲所有實驗的總收益減去最大流。

於是，正確性？

首先考慮所有被選擇的點，假設這些點所代表的每個項目淨收益都爲正，項目j$j$ 所需的儀器集合爲K$\mathbb{K}$ ，那麼由於每個項目的淨收益爲正，有∀j,pj⩾∑x∈K$\mathrm{\forall }j,p_j⩾\sum x\in \mathbb{K}$ ，故該項目在模型中對最大流的貢獻爲∑x∈K$\sum x\in \mathbb{K}$ 。

對於未被選擇的項目，它們的淨收益一定爲負，那麼其對最大流的貢獻爲pj$p_j$ 。

綜上，在總淨收益最大的情況下若一個項目被選擇，其對最大流的貢獻等於其淨收益；若其未被選擇，其對最大流的貢獻等於其收益(pj)$(p_j)$ 。因此答案爲所有實驗的總收益減去最大流。

代碼

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<queue>

using namespace std;

struct edge{
    int v,c;
    edge():v(0),c(0){}
    edge(int y,int d):v(y),c(d){}
};

const int INF=1000000000;
vector<int> point[103];
vector<edge> vec;
char ch;
int N,M,K[51],W[51],S,T,x,ans,d[103],p[103];

inline void addedge(int x,int y,int c,int i=0){point[x].push_back(vec.size());vec.push_back(edge(y,c));point[y].push_back(vec.size());vec.push_back(edge(x,0));}

bool bfs(){
    queue<int> q;q.push(S);memset(d,0,sizeof(d));d[S]=1;
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();q.pop();
        for(int i:point[u]){
            edge e=vec[i];int v=e.v,c=e.c;
            if(!d[v]&&c)q.push(v),d[v]=d[u]+1;
        }
    }
    return d[T];
}

int dfs(int u,int f){
    if(u==T)return f;
    for(int &i=p[u];i<point[u].size();++i){
        edge e=vec[point[u][i]];int v=e.v,c=e.c,fl;
        if(d[v]==d[u]+1&&c&&(fl=dfs(v,min(f,c)))){vec[point[u][i]].c-=fl;vec[point[u][i]^1].c+=fl;return fl;}
    }
    return 0;
}

int main(){
    scanf("%d%d",&M,&N);
    T=(S=N+M+1)+1;
    for(int i=1;i<=M;++i){
        scanf("%d",K+i),ans+=K[i],addedge(S,i+N,K[i]);ch=0;
        while(ch!='\r'&&ch!='\n')scanf("%d",&x),addedge(i+N,x,INF),ch=getchar();
    }
    for(int i=1;i<=N;++i)scanf("%d",W+i),addedge(i,T,W[i]);
    while(bfs()){int d;memset(p,0,sizeof(p));while(d=dfs(S,INF))ans-=d;}
    for(int i=1;i<=M;++i)if(d[i+N])printf("%d ",i);puts("");for(int i=1;i<=N;++i)if(d[i])printf("%d ",i);puts("");printf("%d",ans);
}