【BZOJ2820】GCD

題目

鏈接：BZOJ2820
（權限題，洛谷P2257）

解法：莫比烏斯反演

一道較簡單的莫比烏斯反演，推推式子就OK了。

Ans=∑i=1n∑j=1m∑p[gcd(i,j)=p]=∑p∑i⌊np⌋∑j⌊mp⌋[gcd(i,j)=1]=∑p∑i⌊np⌋∑j⌊mp⌋∑d|gcd(i,j)μ(d)=∑p∑d=1min(⌊np⌋,⌊mp⌋)μ(d)∑i⌊ndp⌋∑j⌊mdp⌋1=∑p∑d=1min(⌊np⌋,⌊mp⌋)⌊ndp⌋⌊mdp⌋μ(d)$$\begin{array}{rl}Ans& =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\sum _p\left[gcd\left(i,j\right)=p\right]\\ & =\sum _p\sum _i^{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor }\sum _j^{\lfloor \frac{m}{p}\rfloor }\left[gcd\left(i,j\right)=1\right]\\ & =\sum _p\sum _i^{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor }\sum _j^{\lfloor \frac{m}{p}\rfloor }\sum _{d|gcd\left(i,j\right)}\mu (d)\\ & =\sum _p\sum _{d=1}^{min\left(\lfloor \frac{n}{p}\rfloor ,\lfloor \frac{m}{p}\rfloor \right)}\mu (d)\sum _i^{\lfloor \frac{n}{dp}\rfloor }\sum _j^{\lfloor \frac{m}{dp}\rfloor }1\\ & =\sum _p\sum _{d=1}^{min\left(\lfloor \frac{n}{p}\rfloor ,\lfloor \frac{m}{p}\rfloor \right)}\lfloor \frac{n}{dp}\rfloor \lfloor \frac{m}{dp}\rfloor \mu \left(d\right)\end{array}$$

單次詢問時間複雜度：O(π(n)min(n,m)−−−−−−−−√)$O\left(\pi (n)\sqrt{min\left(n,m\right)}\right)$ ，一眼看過去，誒，能過，突然就看到了多組數據T⩽105$T⩽{10}^5$ 。。涼了呀

發現式中有迭代變量的乘積，於是設t=dp$t=dp$ ，就有：

Ans=∑p∑d=1min(⌊np⌋,⌊mp⌋)⌊ndp⌋⌊mdp⌋μ(d)=∑t=dp⌊nt⌋⌊mt⌋∑pμ(tp)$$\begin{array}{rl}Ans& =\sum _p\sum _{d=1}^{min\left(\lfloor \frac{n}{p}\rfloor ,\lfloor \frac{m}{p}\rfloor \right)}\lfloor \frac{n}{dp}\rfloor \lfloor \frac{m}{dp}\rfloor \mu \left(d\right)\\ & =\sum _{t=dp}\lfloor \frac{n}{t}\rfloor \lfloor \frac{m}{t}\rfloor \sum _p\mu \left(\frac{t}{p}\right)\end{array}$$

在篩出素數後，迭代求出∑pμ(tp)$\sum _p\mu \left(\frac{t}{p}\right)$ 的前綴和，
即可使用分塊求解。

時間複雜度：O(T⋅(π(n)logπ(n)+n−−√))$O\left(T\cdot (\pi (n)\log \pi (n)+\sqrt{n}\right))$

AC代碼

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>

using namespace std;

const int N=10000000;
vector<int> prime;
bool check[10000001];
int T,n,m;
long long summu[10000001],mu[10000001];

void sieve(){
    mu[1]=1ll;
    for(int i=2;i<=N;++i){
        if(!check[i])prime.push_back(i),mu[i]=-1ll;
        for(int j:prime){
            if(i*j>N)break;
            mu[i*j]=-mu[i],check[i*j]=true;
            if(i%j==0){mu[i*j]=0;break;}
        }
    }
    for(int i:prime)for(int j=1;i*j<=N;++j)summu[i*j]+=mu[j];
    for(int i=1;i<=N;++i)summu[i]+=summu[i-1];
}

void solve(int n,int m){
    if(n>m)swap(n,m);
    int lst;long long res=0ll;
    for(int i=1;i<=n;i=lst+1)lst=min(n/(n/i),m/(m/i)),res+=(summu[lst]-summu[i-1])*(n/i)*(m/i);
    printf("%lld\n",res);
}

int main(){
    sieve();
    scanf("%d",&T);for(int i=1;i<=T;++i)scanf("%d%d",&n,&m),solve(n,m);
}