計算機中數的表示與存儲

        原碼:將一個整數,轉換成二進制,就是其原碼。如單字節的5的原碼爲:0000 0101;-5的原碼爲1000 0101。

  反碼:正數的反碼就是其原碼;負數的反碼是將原碼中,除符號位以外,每一位取反。如單字節的5的反碼爲:0000 0101;-5的反碼爲1111 1010。

  補碼:正數的補碼就是其原碼;負數的反碼+1就是補碼。如單字節的5的補碼爲:0000 0101;-5的原碼爲1000 0101

  在計算機中,正數是直接用原碼錶示的,如單字節5,在計算機中就表示爲:0000 0101。負數用補碼錶示,如單字節-5,在計算機中表示爲1111 1011。

  這兒就有一個問題,爲什麼在計算機中,負數用補碼錶示呢?爲什麼不直接用原碼錶示?如單字節-5:1000 0101。

  我想從軟件上考慮,原因有兩個:

  1、表示範圍

  拿單字節整數來說,無符號型,其表示範圍是[0,255],總共表示了256個數據。有符號型,其表示範圍是[-128,127]。

  先看無符號,0表示爲0000 0000,255表示爲1111 1111,剛好滿足了要求,可以表示256個數據。

  再看有符號的,若是用原碼錶示,0表示爲0000 000。因爲咱們有符號,所以應該也有個負0(雖然它還是0):1000 0000。

  那我們看看這樣還能夠滿足我們的要求,表示256個數據麼?

  正數,沒問題,127是0111 1111,1是0000 0001,當然其它的應該也沒有問題。

  負數呢,-1是1000 0001,那麼把負號去掉,最大的數是111 1111,也就是127,所以負數中最小能表示的數據是-127。

  這樣似乎不太對勁,該如何去表示-128?貌似直接用原碼無法表示,而我們卻有兩個0。

  如果我們把其中的一個0指定爲-128,不行麼?這也是一個想法,不過有兩個問題:一是它與-127的跨度過大;二是在用硬件進行運算時不方便。

  所以,計算機中,負數是採用補碼錶示。如單字節-1,原碼爲1000 0001,反碼爲1111 1110,補碼爲1111 1111,計算機中的單字節-1就表示爲1111 1111。

  單字節-127,原碼是1111 1111,反碼1000 0000,補碼是1000 0001,計算機中單字節-127表示爲1000 0001。

  單字節-128,原碼貌似表示不出來,除了符號爲,最大的數只能是127了,其在計算機中的表示爲1000 0000。

  2、大小的習慣(個人觀點)

  也可以從數據大小上來理解。還是以單字節數據爲例。有符號數中,正數的範圍是[1,127],最大的是127,不考慮符號爲,其表示爲111 1111;最小的是1,不考慮符號爲,其表示爲000 0001。

  負數中,最大的是-1,我們就用111 1111表示其數值部分。後面的數據依次減1。減到000 0001的時候,我們用它標示了-127。再減去1,就變成000 0000了。還好我們有符號爲,所以有兩個0。把其中帶符號的0拿過來,表示-128,剛好可以滿足表示範圍。

  以上只是從軟件的角度進行了分析,當然,從硬件的角度出發,負數使用補碼錶示也是有其原因的,畢竟計算機中,最終實現運算的還是硬件。主要原因有三:

  1、負數的補碼,與其對應正數的補碼之間的轉換可以用同一種方法----求補運算完成,簡化硬件。

  如:

  原碼                反碼                補碼

  -127 -〉127    1000 0001 -〉 0111 1110 -〉 0111 1111

  127 -〉-127    0111 1111 -〉 1000 0000 -〉 1000 0001

  -128 -〉128    1000 0000 -〉 0111 1111 -〉 1000 0000

  128 -〉-128    1000 0000 -〉 0111 1111 -〉 1000 0000

  可以發現,負數和正數求補的方法是一樣的。

  2、可以將減法變爲加法,省去了減法器。

  在計算機中,我們可以看到,對其求補,得到的結果是其數值對應的負數。同樣,負數也是如此。

  運算中,減去一個數,等於加上它的相反數,這個小學就學過了。既然其補碼就是其相反數,我們加上其補碼不就可以了。

  如:A - 127,

  也就相當於:A + (-127),

  又因爲負數是以補碼的形式保存的,也就是負數的真值是補碼,既然這樣,當我們要減一個數時,直接把其補碼拿過來,加一下,就OK了,我們也可以放心地跟減法說拜拜了!

  當然這也涉及到類型轉換的問題,如單字節128,其原碼是1000 0000,其補碼也是1000 0000。這樣我們+128,或者-128,都是拿1000 0000過來相加,這樣不混亂掉了?還好,各個編程語言的編輯器對有類型轉換相關的限制。

  如:(假設常量都是單字節)

  1 + 128, 真值的運算是 0000 0001 + 1000 0000 ,如果你將結果賦值給一個單字節有符號正數,編輯器會提示你超出了表示範圍。因爲運算的兩個數據是無符號的,其結果也是無符號的129,而有符號單字節變量最大可以表示的是127。

  1 - 128,真知的運算是 0000 0001 + 1000 0000 ,因爲-128是有符號,其運算結果也是有符號,1000 0001,剛好是-127在計算機中的真值。

  3、無符號及帶符號的加法運算可以用同一電路完成。

  有符號和無符號的加減,其實都是把它們的真值拿過來相加。真值,也就是一個數值在計算機中的二進制表示。正數的真值就是其原碼,負數的真值是其補碼。所以,有符號和無符號由編譯器控制,計算機要做的不過是把兩個真值拿過來相加。


注意的問題

1、C語言中整型常量有三種不同的表示形式: 
     1、八進制整型常量:在八進制數值前面加前綴“0”,其數碼取值爲0~7。例如:054、0567、05421。 
     2、十六進制整型常量:前綴爲“0X”或“0x“,其數碼取值爲0~9、A~F 或 a~f。例如:0X3D、0XE0、0xfff等。 
     3、十進制整型常量:既無前綴也無後綴。例如:254、745、890等。 如將存儲爲long類型,需要在數字序列最後附一個字母L 或 l 作爲後綴。例如:245L、7850L、124l等


2、現在說一說~0ull>>1的一些事
首先ull是unsigned long long,位寬64bit,無符號位;ll是long long,位寬64bit,首位是符號位,負數按補碼存儲。
~是按位取反符號,~0結果0xffffffffffffffff,再按ull存儲便是(1<<64)-1,然後右移一位就成了0x7fffffffffffffff,按ll存儲便是(1<<63)-1,long long最大數
這裏要注意一下邏輯右移與算術右移

邏輯右移:不管最左邊一位是0還是1,都補0.

算術右移,移走的位填充與符號位有關,例如如果爲負數,則移走的位填充爲1。

8086處理器在左移時,算數移位和邏輯移位是相同,缺位補0,符號位由下一位補上。

總體上來說,邏輯移位針對unsigned類型,算術移位針對signed類型

如果寫成~0ll>>1,C中會把負數的右移編譯爲算術右移,結果由0xffffffffffffffff變爲0xffffffffffffffff自己,所以還是-1




3、 一般來說,整數常量是被當作 int 類型(32位)來存儲的。如果我們使用的整數常量超出了 int 的表示範圍,C 語言規定編譯器自動使用 unsigned int 來處理這個常量。如果 unsigned 也不足以表示這個常量的話,編譯器就會用 long long。如果還表示不了的話,那就用 unsigned long long。如果 unsigned long long 也表示不了,那麼編譯器就沒轍了。例如:如果 int 是 16 位的話,它就表示不了常量 1000000。編譯器會使用 long long來處理這個常量,因爲 unsigned int 也表示不了 1000000 。
    同樣,十六進制和八進制整數常量通常也是被作爲 int 來處理。但是,當我們使用的常量超出了 int 的表示範圍後,編譯器會依次使用unsigned int,long long 和 unsigned long long。直到所使用的類型足以表示那個常量爲止。
    有時,我們使用的是較小的常量,但是我們希望這個常量被當作 long 來處理,這就需要在這個常量後面加上後綴 l(小寫字母 l)或者 L(大寫字母 L)。我們應該避免使用 l ,因爲 l 容易和數字 1 混淆。例如:整數常量 7 是被作爲 int 來處理的,但整數常量 7LL(或者 7ll)是被作爲 long long 來處理的。如果想使用無符號整數常量的話,還要配合使用後綴 u 或者 U 。例如:2u,3U,8Ull,9uLL 。
(
注意移位問題(1<<31)-1表示int的最大值,(1<<33)-1也自動按int值存故爲0
printf("%lld\n",(1<<33)-1);結果是個很奇怪的數。。。
在l後面加上LL就可以明確表示Long long,printf("%lld\n",(1LL<<33)-1);
)
切記printf打印數的類型一定要與你定義的類型一樣
比如一個int類型的變量按%lld打印會出現不可預見性結果
printf("%lld\n",(1<<33)-1);(這裏1自動存爲int型,故(1<<33)-1也是int型0xffffffff,按long long打印結果很詭異)


關於補碼小技巧:
注意一個數的補碼和其相反數的補碼之間的關係是,這個數的補碼各位取反後加1得到其相反數的補碼。例如-128的相反數和0的相反數在計算機裏面還是本身,-128補碼是1000 0000,各位取反加一後還是1000 0000故相反數不變;0的補碼 0000 0000,各位取反加一後仍爲0000 0000(高位自動溢出)。其他的數的相反數概念在數學和計算機中是一樣的。比如-1的補碼1111 1111,其相反數的補碼是0000 0001.

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