對差分約束問題的理解

首先討論這種標準形式的問題

X1 - X2 <= 0
X1 - X5 <= -1
X2 - X5 <= 1
X3 - X1 <= 5
X4 - X1 <= 4
X4 - X3 <= -1
X5 - X3 <= -3
X5 - X4 <= -3

上面的不等式組全都是兩個未知數的差小於等於某個常數（大於等於也可以，左右乘以-1就可以化成小於等於）。這樣的不等式組就稱作差分約束系統。

解法利用到了單源最短路徑問題中的三角形不等式。

即對於任何一條邊u -> v，都有：d(v) <= d(u) + w(u, v)，其中d(u)和d(v)是從源點分別到點u和點v的最短路徑的權值，w(u, v)是邊u -> v的權值。

顯然以上不等式就是d(v) - d(u) <= w(u, v)。這個形式正好和差分約束系統中的不等式形式相同。於是我們就可以把一個差分約束系統轉化成一張圖，每個未知數Xi對應圖中的一個頂點Vi，把所有不等式都化成圖中的一條邊。對於不等式Xi - Xj <= c，把它化成三角形不等式：Xi <= Xj + c，就可以化成邊Vj -> Vi，權值爲c。最後，我們在這張圖上求一次單源最短路徑，這些三角形不等式就會全部都滿足了，因爲它是最短路徑問題的基本性質嘛。

實際求解過程中，我們初始化所有的d數組爲0，然後根據連邊情況跑spfa即可，最後得到的d數組就是最小值。當然如果出現負環，那表示某幾個不等式互相矛盾。

比如UVA 11478

bool spfa(int mid){
    queue<int>q;
    int i,j;
    for(i=1;i<=n;i++){
        dis[i]=0;   //這裏初始化爲0只去搜負環
        vis[i]=1;
        tim[i]=1;
        q.push(i);
    }
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();
        q.pop();
        vis[u]=0;
        for(i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){
            int v=edge[i].v;
            if(dis[v]>dis[u]+edge[i].w-mid){
                dis[v]=dis[u]-mid+edge[i].w;
                if(!vis[v]){
                    vis[v]=1;
                    q.push(v);
                    if(++tim[v]>n) return 0;
                }
            }
        }
    }
    return 1;
}

當然還有對稱的一種情況，就是不等式組都是>=方向，這個相當與最長路徑的定義，d(v) >= d(u) + w(u, v).

實際求解過程中，我們依然初始化所有的d數組爲0，然後根據連邊情況跑spfa即可，最後得到的d數組就是最大值。如果出現正環同理表明出現矛盾

總結下來就是這麼個結論：

如果是求最值

求最大值，把不等式全變爲<=,做最短路；
求最小值，把不等式全變爲>=,做最長路。
如果只是判斷是否有解，則可統一爲建好圖用spfa判負環即可