1 有限元法基本思想
有限元法是在連續體上直接進行近似計算的一種數值方法，其基本思想通過下面的例子來說明。圖1簡答說明了早期數學上求解圓面積的近似方法。首先將連續的圓分割成一些三角形，求出每個三角形的面積，再將每個小三角形面積相加，即可得到圓面積的近似值。前面是“分”的過程，後面是“合”的過程。之所以要分，是因爲三角形面積容易求得。這樣簡單的一分一合，就很容易求出圓面積的近似值。體現了有限元法的基本思想，即“拆整爲零，集零爲整”。
“拆整爲零”即“分”的過程，具體包括
1）離散化
將連續的求解區域離散爲有限個部分的集合，並認爲各部分只通過有線個點連接起來。例如圖2，可假想連續體（a）由許多小部件（b）組成，這些規則或不規則的小部分成爲單元（element）。單元之間只通過有限個點連接起來，如（c）所示，單元①與單元②只在1、2兩點相連，這些連接點稱爲節點（node）。這一過程稱有限元離散化過程。
2）假定單元場函數
在每個單元內假定近似場函數（位移函數或應力函數），並將單元內的場函數由該單元各個節點的數值通過函數插值表示，這樣，未知的場函數（或包括其導數）在單元內各個節點的數值就成爲新的未知量（其個數稱爲自由度），從而使一個連續的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題。
3）單元分析
對每個單元分析，求出單元的特性。
“集零爲整”即“合”的過程，將單元的特性裝配在一起得到離散體整體的特性，並利用數值計算方法得到整個求解域上場函數的近似值。
2 有限元法分類
有限元法按基本未知量可分爲三大類，即有限元位移法、有限元力法、有限元混合法。在有限元位移法中，選節點位移作爲基本未知量；在有限元力法中，選節點力作爲基本未知量；在有限元混合法中，一部分基本未知量爲節點位移，另一部分基本未知量爲節點力。有限元位移法計算過程的系統性、規律性強，特別適宜編程求解。一般除板殼問題的有限元法應用一定量的混合法外，其餘全部採用有限元位移法。
有限元法按求解問題的類型可分爲兩大類：線彈性有限元法和非線性有限元法。其中線彈性有限元法是非線性有限元法的基礎。
1）線彈性有限元法
線彈性有限元法以理想彈性體爲研究對象，所考慮的變形建立在小變形假設的基礎上。具體講，下面四條必須同時滿足的問題爲線彈性問題：
- 材料的應力與應變呈線性關係，滿足廣義胡克定理。
- 應變與位移的一階導數呈線性關係。
- 微元體的平衡方程是線性的。
- 結構的邊界條件是線性的。
線彈性有限元問題歸結爲求解線性方程組問題，所需時間較少。
線彈性有限元一般包括彈性靜力學分析與線性彈性動力學分析兩個主要內容。學習這些內容需具備材料力學、結構力學、彈性力學、振動力學、數值方法、矩陣代數、算法語言等方面的知識。
2）非線性有限元法
有限元法所求解的非線性問題可以分爲如下三類
- 材料非線性問題。在線彈性問題的四個條件中，不滿足第1條的稱爲材料非線性問題。
材料的非線性問題中，材料的應力和應變呈非線性關係。在工程實際中較
爲重要的材料非線性問題有：非線性彈性（包括分段線彈性）、彈塑性、黏塑性及蠕變等。
2. 幾何非線性問題。在線彈性問題的四個條件中，不滿足2、3條的稱
爲幾何非線性問題。
幾何非線性由結構變形的大位移造成。一般分兩類：一類叫小變形幾何非線性問題，在這類問題中應變很小，但不能忽略高階應變，所以它可以表述爲結構在加載過程中不能忽略小應變的有限轉動的彈性力學問題，如薄板的大撓度問題就屬於小變形幾何非線性問題；另一類叫有限變形（或大應變）幾何非線性問題，在這類問題中，結構將產生很大的變形和位移，變形過程已經不可能直接用未受力時的位置和形態加以描述，平衡狀態的幾何位置也是未知的，而且必須給出應力、應變的新定義。由此可見，有限變形（或大應變）幾何非線性問題的求解有別於小變形幾何非線性問題，如橡膠部件形成過程與金屬塑性加工過程均爲有限變形幾何非線性問題。
3. 邊界非線性問題。在線彈性問題的四個條件中，不滿足第4條的稱爲
邊界非線性問題。
邊界非線性包括兩個結構物的接觸邊界隨加載和變形而改變引起的接觸非 線性，也包括非線性彈性地基的非線性邊界條件和可動邊界問題等。
在加工、密封、撞擊等問題中，接觸和摩擦的作用不可忽視，接觸邊界屬 於高度非線性邊界。齒輪齧合、衝壓成型、軋製成像、橡膠減震器、緊配合裝配等都是一些接觸問題。當一個結構與另一個結構或外部邊界相接觸是通常要考慮非線性邊界條件
實際的非線性可能出現上述兩種或三種非線性問題。
上述三類非線性問題與線彈性問題的求解有很大不同，主要表現在如下三個方
面：
- 非線性問題的方程是非線性的，一般需求迭代求解。
- 非線性問題的解不一定是唯一的，有時甚至沒有解。
- 非線性問題解的收斂性事先不一定能得到保證，可能出現振盪或發散現象。
以上三方面的因素使非線性問題的求解過程比線彈性問題更加複雜、費用更高和更具有不可預知性。